电磁学-第二章 电势

电势

电场力是一种保守力，做功多少与路径无关，自然而然地类比于重力场中使用高度来表述重力势能的多少，相应的电场中也应该引入用于表述电势能多少的相关定义。

静电场的保守性

重力场	静电场
$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$	$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}$
$U=mgh$	$U=qV$

关于利用库仑定律证明静电场的保守性这里就略过，大体思路就是计算一段路径的线积分，代入库仑定律，得到的结果与路径无关，只跟起点和终点的距离有关。

$${\int }_{\left(P_1\right)}^{\left(P_2\right)}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{r_1}^{r_2}\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$

我们可以使用旋度来简洁的表述静电场是保守力： $\nabla \times \vec{E}=0$

亦或者使用 静电场环路定理 表述： $\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}r=0$

电势和电势差

正如前面的导言所说，我们也应引入类似于重力场的高度这个概念，这里我们就顺势引入 电势(Electric potential) 的概念。在引入之前，我们还应该定义一个类似于重力场中的 高度零点参考点 ，这就是 电势零点(electric zero point) 。指定该点的电势为0， 以便表述静电场中其他各点的电势值。此时各点的电势即为从该点到电势零点静电场所做的功。

而任意两点之间的电势差(Electric potential difference) 也被称为两点之间的 电压(voltage) ，单位为 伏特(volt) $V$

电势零点的选取只视方便而定，当电荷只分分布在有限区域时，电势零点通常选在无限远处 。此时电势函数可以写成： $\phi ={\int }_p^{\infty }\vec{E}\cdot \mathrm{d}r=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}_p}$ 。在实际问题中，通常选取地球的电势为零电势。

选取无限远处作为电势零点时，在有多个点电荷的静电场中可以在点电荷公式的基础上应用叠加原理来求出结果：

$$V=\int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi {ϵ}_{0}r}=\int \frac{\sigma \mathrm{d}A}{4\pi {ϵ}_{0}r}$$

其中 $r$ 为点电荷 $q_i$ 到点 $P$ 的距离

有了类似于重力场中的电势，我们便可以顺势引入类似于重力势能的 电势能(Electric potential)

$$U_a=q{V}_a=q{\int }_a^{V=0}\vec{E}\cdot \mathrm{d}r{W}_{ab}=q{V}_{ab}=q{\int }_a^b\vec{E}\cdot \mathrm{d}r$$

电势的计算

部分例题来自,¹ PPT样式部分来自²

均匀带电球面的电场中的电势分布

均匀带电球面的电势分布

无限长均匀带电直线的电场中的电势分布

无限长均匀带电直线的电场中的电势分布

等势面

在电场中电势相等的点所组成的曲面叫做等势面，该部分内容高中物理已经进行初步介绍，这里就简单略过。

几种常见的电荷分布对应的等势面

电势梯度

由梯度的概念横向延伸过来。在电场中沿某一方向其电势随距离的变化率最大，该最大值称为该点的电势梯度。它是一个矢量，方向表示的是该点附近电势升高最快的方向。而场强等于该点电势梯度的负值，因为它是从高电势指向低电势。即：

$$E=-\nabla \phi$$

使用矢量形式表示为：

$$\mathbf{E}=-\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}i+\frac{\partial \phi }{\partial y}j+\frac{\partial \phi }{\partial z}k\right)$$

电荷系的静电能

设 $n$ 个静止的电荷组成一个电荷系。将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时,它们之间的静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的静电能，也称相互作用能(简称互能)

从来两个等量异号的点电荷出发，一步一步推导推广到由 $n$ 个点电荷组成的电荷系，该电荷系的互能为

$$W=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{q}_i{\phi }_i$$

如果考虑一个带电体，设想将该带电体分割成无限多个电荷元，那么对应的静电能（其实这时候有个更严格的定义称为自能 )为 ：

$$W=\frac{1}{2}{\int }_q\phi \mathrm{d}q$$

由于电荷元 $\mathrm{d}q$ 为无限小, 所以上式积分号内的 $\phi$ 为带电体上所有电荷在电荷元 $\mathrm{d}q$ 所在 处的电势。积分号下标 $q$ 表示积分范围遍及该带电体上所有的电荷。

均匀带电球体的静电能

静电场的能量

正如在热力学系统中使用温度或者熵作为衡量系统的能量多少时，我们在静电场的体系中也可以使用类似的定义来表述电场能量的多少。

设想一个表面均匀带电的橡皮气球, 所带总电量为 $Q$ 。由于电荷之间的斥力, 此气球将会膨胀。设在某一时刻球的半径为 $R$, 由上一节的公式可知此带电气球的静电能量为

$$W=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}$$

当气球继续膨胀使半径增大 $\mathrm{d}R$ 时, 由于电荷间斥力做了功, 此带电气球的能量减少了。所减少的能量,由上式微分可得：

$$-\mathrm{d}W=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0{R}^2}\mathrm{d}R$$

这一部分的能量减少可以作为该系统电场能量的减少。而球体的内部电场强度等于零而没有电场，所以电场能量可以视为分布在球壳表面。球壳内的电场强度为 $E=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{R}^2}$ ,所以上式可以改写成：

$$\mathrm{d}W=\frac{{ϵ}_0}{2}{\left(\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{R}^2}\right)}^{2}4\pi R^2\mathrm{d}R=\frac{{ϵ}_0{E}^2}{2}4\pi R^2\mathrm{d}R=\frac{{ϵ}_0{E}^2}{2}\mathrm{d}V$$

由上式进一步引入电场能量密度的概念：

$$w_{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}V}=\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}$$

如果知道了一个带点系统的电场分布，那么可以将前式对全空间做一个积分求得一个带电系统的电场的总能量。

$$W={\int }_V{w}_e\mathrm{d}V={\int }_V\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}\mathrm{d}V$$

---

参考资料

Footnotes

1. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

2. 吴昊. Physics. 课程PPT ↩