202406- 随机过程期末考题

1. 设 $\phi (t)$ 为特征函数，证明 $h(t){\cos }^2\phi (t)$ 也是特征函数

第零讲作业最后一题

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2. 按照区间定义的序列，求其均值和自相关函数

按照定义计算即可

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3. 二维泊松分布的概率密度函数

第二讲作业第一题

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4. 证明二次均匀伯努利序列不是 markov 序列。考虑 Bernoulli 过程的移动平均

$$Y_n=\frac{1}{2}\left(X_n+X_{n-1}\right)$$

其中 $\left\{X_n\right\}n=1,2,\cdots$ 是 $p=1/2$ 的独立 Bernoulli 序列。试证明 $\left\{Y_n\right\}n=1,2,\cdots$ 不是一个 Markov 过程。

第三讲作业第六题

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5. 证明一个序列均方收敛

第四讲作业第二题，Cauchy 准则直接秒了。考试给的分布律更简单一些。

2. 设 $\left\{X_n,n\ge 1\right\}$ 是相互独立的随机变量序列, 其分布律为:

$X_n\sim \left[\begin{array}{cc}n& 0\\ \frac{1}{n^2}& 1-\frac{1}{n^2}\end{array}\right]$

试讨论此序列是否均方收敛。

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6. 数据包到达某计算机满足参数为 $\lambda$ 的 Poisson 过程, 设为 $\{N(t),t\ge 0\}$ 。设每个数据包含有的数据帧相互独立都服从参数为 $\beta$ 的 Poisson 随机变量, 且与 $\{N(t),t\ge 0\}$ 独立。设 $X(t)$ 为在 $[0,t)$ 内到达的数据帧的数目。试求 $P\{X(t)=j\mid N(t)=n\}$ 和 $E[X(t)]$ 。

第二讲作业第十五题

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7. 三种复合维纳过程的三个均值和相关函数

出自第二讲作业第 22 题，从里面的 6 个选三个（具体哪三个忘记了 XD）

22. 设 $\{W(t){\}}_0^{+\infty }$ 是为参数为 ${\sigma }^2$ 的 Wiener 过程, 求下列过程的均值函数和自相关函数。

1. $X_1(t)=W(t+a)-W(t)a>0$

2. $X_2(t)=W(t+a)-W(a)a>0$

3. $X_3(t)=(1-t)\cdot W\left(\frac{t}{1-t}\right)0\le t<1$

4. $X_4(t)=W^2(t)$

5. $X_5(t)=a\cdot W\left(\frac{t}{a^2}\right)(a>0)$

6. $X_6(t)=e^{-at}W\left(e^{2at}-1\right)(a>0)$

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8. 转移概率图像，讨论各个状态性质，分解状态空间

第三讲作业第十六题，考试给的矩阵是 $3\times 3$。

16. 设齐次马氏链 $\{X(n),n=0,1,2,\cdots \}$ 的状态空间 $E=\{1,2,3,4\}$, 状态转移矩阵

$$P=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 0\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right]$$

（1）画出状态转移概率图形；（2）讨论各状态性质；（3）分解状态空间.

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9. 两种方法证明：设 $X(t)=\sin tX$ , $X^{\prime }(t)=XcostX$ ,其中$X$ 服从正态分布。

第四讲作业第13题