高等代数 2- 期末复习

第五章 线性空间

求向量在不同基下的坐标表示

$2.在{\mathbb{R}}^4$ 中，求向量 $\xi$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 下的坐标，其中

${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1,1,0,1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}2,1,3,1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1,1,0,0\end{array}\right),{\alpha }_4=\left(\begin{array}{c}0,1,-1,-1\end{array}\right),\xi =\left(\begin{array}{c}1,2,3,4\end{array}\right).$

解：对矩阵 $A=\left({\alpha }_1^T,{\alpha }_2^T,{\alpha }_3^T,{\alpha }_4^T\mid {\xi }^T\right)$ 做初等行变换：

$4=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 2\\ 0& 3& 0& -1& 3\\ 1& 1& 0& -1& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 1\\ 0& -1& 0& 1& 1\\ 0& 3& 0& -1& 3\\ 0& -1& -1& -1& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 1& 0& 1\\ 0& -1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 2& 6\\ 0& 0& -1& -2& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 5\\ 0& 1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0& -8\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$

故 $\xi$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 下的坐标为 (5,2,-8,3).

求子空间的补空间

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线性变换

$$dim(Im(A))=R(A),dim(ImA)+dim(KerA)=dim(V_1)$$ $$A可逆\leftrightarrow KerA=0\leftrightarrow dim(\mathrm{Im}A)=R(A)=dim(V_1)\leftrightarrow AX=0只有零解$$

• $Hom(V_1,V_2)$：从 $V_1$ 到 $V_2$ 的全体线性映射所成集
• $End(V)$：$V$ 上全体线性变换所成集。 $End(V)=Hom(V,V)$

$A的特征多项式：f(\lambda )=|\lambda I-A|$

$a是A^{-1}的特征值{\lambda }^{-1}的特征向量$ $a是A^{\ast }的特征值|A|{\lambda }^{-1}的特征向量$

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设数域 F 上 n 阶方阵 A 与 B 在 F 中相似,则 (1)A 与 B 相抵且同秩; (2)A 与 B 特征多项式相同,特征值相同,且每一个特征值的代数重数也相同 (3)A 与 B 的行列式与迹也相同. (4)A 与 B 每个特征值的几何重数相同.

$$A可相似对角化,\leftrightarrow A在F^n中有n个线性无关的特征向量$$

(2) 设 A $\in \mathrm{End}(V),\dim V=n$,则： A 在某组基下的矩阵为对角阵 $\iff$A 在 $V$ 中有 n 个线性无关的特征向量

$$\begin{array}{rl}\text{定理7.}& A\in F^{n\times n}\text{ 的特征多项式为}{\left(\lambda -{\lambda }_1\right)}^{k_1}\cdots {\left(\lambda -{\lambda }_{{}_s}\right)}^{k_s},{\lambda }_{{}_1},\cdots ,{\lambda }_{{}_s}\in F\\ & {\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_s\in F\text{ 互异},\text{则如下条件等价}:\\ (1)& A\text{可对角化;}\\ \left(2\right)& \text{每个特征值的代数重数}=\text{几何重数};\\ (3)& \text{对每一个 }{k}_i>1\text{ 重特征值 }{\lambda }_i,k_i=\dim V_{{\lambda }_i};\\ (4)& \text{对每一个 }{k}_i>1\text{ 重特征值 }{\lambda }_i,k_i=n-R\left({\lambda }_{i}I-A\right).\end{array}$$

求解变换的核空间和像空间

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矩阵和线性变换的特征值和特征向量

矩阵一般默认的基为单位基，而线性变换则不是，所以需要带上原始的基作为记号

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复合矩阵的特征多项式计算

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判断是否能相似对角化

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Jordan 标准形

$$\begin{array}{rl}& \text{定理1. 设 }A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}\text{ 的幂零指数为 }m,\text{则}\\ & \left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)A\text{ 的特征值均为}0,A\text{ 的最小多项式为 }{\lambda }^m;\\ & \left(\begin{array}{c}2\end{array}\right)A\text{的特征多项式为}\left|\lambda I-A\right|={\lambda }^n,\text{特别地},\text{幂零指数 }m\le n\end{array}$$

初等变换不改变 $\lambda -$ 矩阵的各阶行列式因子.可将矩阵先化为相抵标准形 再计算其各阶行列式因子。

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求可逆矩阵使其变为 Jordan 标准形

欧式空间

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QR 分解

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正交化：原向量：$a_1,a_2,a_3,\dots .$,正交向量：${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,\dots$。正交化; ${\beta }_i$ 等于 $a_i$ 减去其在 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots {\beta }_{i-1}$ 上的投影向量。

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欧式空间

正交变换：保持内积的线性变换

• 若 $\det (A)=1$,则称 $A$ 为第一类正交变换
• 若 $\det (A)=-1$，则称 $A$ 为第二类正交变换
• 正交变换在标准正交基下的行列式与基的选取无关

正交矩阵：实方阵 $A$ 满足 $A{A}^T=A^{T}A=I$ (等价于 $A^{T}A=I).$ 设 $A,B\in {\mathbb{R}}^n\times n$ 是正交矩阵，则

$(1)|A|=\pm 1$,特别地 $A$ 可逆； (2) $AB,A^T=A^{-1},A^{\ast }$ 正交；

正交投影：

$$\begin{array}{rl}& V_1\text{是}V\text{的子空间}\Rightarrow V=V_1\oplus V_1^{\perp }\Rightarrow \text{任一}\alpha \in V\text{可以惟一地分解为}:\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_1^{\perp },\\ & \text{其中}{\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_1^{\perp }\in V_1^{\perp },{\alpha }_1\text{称为}\alpha \text{ 在}{V}_1\text{ 上的正交投影},\text{或内射影}.\end{array}$$

实对称矩阵：

(1) $A$ 的特征值都是实数.

(2) 互异特征值的特征向量必然彼此正交.

(3) 存在 $n$ 阶正交矩阵 $C$ 使得 $C^{-}1AC=C^{T}AC$ 为对角阵.

对称变换：满足 $\left(A\alpha ,\beta \right)=\left(\alpha ,A\beta \right),\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$ 反对称变换：$\left(A\alpha ,\beta \right)=-\left(\alpha ,A\beta \right),\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$

对称变换对应一种对称矩阵 实对称矩阵不同特征值的特征向量彼此正交 正交对角化步骤：

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求正交矩阵使其完成向量的变换

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$\alpha +\beta$ 得到两个向量夹角中间的向量 ${\gamma }_1$，然后再 $\alpha -\beta$ 得到与 ${\gamma }_1$ 垂直的向量 ${\gamma }_2$，最后做一个翻转变换得到 $\alpha$ 关于 ${\gamma }_1$ 的对称变换 $A$，将 $\alpha$ 变换到 $\beta$。

设 $W,V_1,V_2,\cdot \cdot \cdot ,V_s$ 都是 $V$ 的子空间，则 $(1)V_1\perp V_2\Rightarrow V_1+V_2$ 是直和 $(2)W\perp V_i\Rightarrow W\perp {\sum }_{i=1}^s{V}_i.$ $(3)V_1,V_2,...,V_s$ 两两正交 $\Rightarrow V_1+V_2+\cdots +V_s$ 是直和

设 $V_1$ 是 $V$ 的 $r$ 维子空间，令

$V_1^{\perp }:=\left\{\alpha \in V|\alpha \perp V_1\right\}=\{\alpha \in V\left|\left(\alpha ,{\alpha }_1\right)=0,\forall {\alpha }_1\in V_1\right\}$

则 $V_1^{\perp }$ 是 $V$ 的子空间.

$V_1\perp V_1^{\perp }\Rightarrow V_1+V_1^{\perp }$ 是直和 $\Rightarrow \dim \left(V_1^{\perp }\right)=\dim \left(V_1+V_1^{\perp }\right)-\dim V_1^{\perp }\le n-r$

求正交补空间的一组标准向量基

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先扩充，将里面的向量都变成标准向量基，然后将另外的两个单位化

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求正交投影

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实对称矩阵的正交对角化

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二次型

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相似：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$ $A,B$ 具有相同的特征多项式，从而特征值也相同 $|A|=|B|,r(A)=r(B),tr(A)=tr(B)$ 合同：存在可逆矩阵 $C$ 使得 $B=C^{\top }AC$ 两同阶矩阵相似，则两矩阵必合同 若矩阵 $A,B$ 合同，则 $Rank(A)=Rank(B)$，两者具有相同的正、负特征值个数。

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标准形：只含平方项

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矩阵变换求合同矩阵

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复二次型的规范形：形如 $z_1^2+z{,}^2+\cdots +z_r^2$ 的二次型。

正交替换化实二次型为标准形

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正定矩阵判定： $(1)A$ 正定； $(2)f(X)$ 正定； $(3)f(X)$ 标准形中平方项系数均为正； $(4)f(X)$ 的正惯性指数为 $n;$ $(5)A$ 与单位阵合同； (6) 存在可逆矩阵 $C$ 使得 $A=C^{T}C;$ $(7)A$ 的特征值均大于 0；

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度量矩阵正定 正定矩阵恰为欧氏空间在某组基下的度量矩阵.

负定二次型的判断

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非退化线性函数： 设 $f$ 是 $V$ 上的双线性函数, 则如下条件彼此等价: (1) $f$ 非退化; (2) $f$ 在某组基下的度量矩阵可逆; (3) $f$ 在任一组基下的度量矩阵可逆; (4) $f$ 诱导出的右线性映射是线性同构;

正交线性替换化标准形

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