数值分析作业-数值微分

HW

1、分析数值导数 ${\hat{f}}^{\prime }(x)=\frac{f(x-2h)-4f(x-h)+3f(x)}{2h}$ 的误差, 并用 Richardson 外推法提高其精度。 2、已知点 $x-2h,x-h,x,x+h,x+2h$ , 用待定系数法推导计算 $f^{\prime \prime }(x)$ 的尽可能高精度的数值格式。 3、编程: 用第 $1、2$ 题中的数值格式计算 $f(x)=e^x$ 在 $x=0$ 处的一阶和二阶导数, 取 $h=$ $10^{-1}\sim 10^{-9}$ , 考察误差的收敛性。

---

1. 分析数值导数 ${\hat{f}}^{\prime }(x)=\frac{f(x-2h)-4f(x-h)+3f(x)}{2h}$ 的误差, 并用 Richardson 外推法提高其精度。

1.1. 误差分析

$f(x-2h)=f(x)-2h{f}^{\prime }(x)+2h^2{f}^{\prime \prime }(x)-\frac{4}{3}{h}^3{f}^{\prime \prime \prime }(x)+O(h^4)$

$f(x-h)=f(x)-h{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}{h}^2{f}^{\prime \prime }(x)-\frac{1}{6}{h}^3{f}^{\prime \prime \prime }(x)+O(h^4)$

$f(x)=f(x)$

将上述三式代入数值导数的定义中，得到相应的数值公式为：

${\hat{f}}^{\prime }(x)=\frac{f(x-2h)-4f(x-h)+3f(x)}{2h}=f^{\prime }(x)-\frac{1}{3}{h}^2{f}^{\prime \prime \prime }(x_0)+O(h^3)$

所以误差项为：${\hat{f}}^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)=-\frac{1}{3}{h}^2{f}^{\prime \prime \prime }(x_0)+O(h^3)$, 其中 $x_0$ 为 $x$ 与 $x-2h$ 之间的某一点。

1.2. Richardson 外推法

$$\begin{array}{rl}{\hat{F}}^{\prime }(x)& =2{\hat{f}}^{\prime }(h/2)-{\hat{f}}^{\prime }(h)\\ & =\frac{2f(x-h)-8f(x-h/2)+6f(x)}{h}-\frac{f(x-2h)-4f(x-h)+3f(x)}{2h}\\ & =\frac{-8f(x-h/2)+3f(x)-f(x-2h)+6f(x-h)}{2h}\end{array}$$

---

2. 已知点 $x-2H,X-h,X,x+h,x+2h$ , 用待定系数法推导计算 $f^{\prime \prime }(x)$ 的尽可能高精度的数值格式。

2.1. 五点中心差分格式

根据Taylor公式有：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)& =\sum _{i=-2}^2{a}_{i}f(x+ih)\\ & =\sum _{i=-2}^2\left[a_{i}f(x)+a_{i}ih{f}^{\prime }(x)+a_i\frac{(ih{)}^2}{2!}{f}^{\prime \prime }(x)+a_i\frac{(ih{)}^3}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }(x)+a_i\frac{(ih{)}^4}{4!}{f}^{\prime \prime \prime \prime }(x)+O(h^5)\right]\\ & =f^{\prime \prime }(x)+O(h^5)\end{array}$$

整理成矩阵得到：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ -2h& -h& 0& 1h& 2h\\ 2h^2& 1/2h^2& 0& 1/2h^2& 2h^2\\ -8/6h^3& -1/6h^3& 0& 1/6h^3& 8/6h^3\\ 16/24h^4& 1/24h^4& 0& 1/24h^4& 16/24h^4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{-2}\\ a_{-1}\\ a_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

求解矩阵得到：

$$\left[\begin{array}{c}{a}_{-2}\\ a_{-1}\\ a_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{-1}{12h^2}\\ \frac{4}{3h^2}\\ \frac{-5}{2h^2}\\ \frac{4}{3h^2}\\ \frac{-1}{12h^2}\end{array}\right]$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }(x)& =\frac{-1}{12h^2}f(x-2h)+\frac{4}{3h^2}f(x-h)-\frac{5}{2h^2}f(x)\\ & +\frac{4}{3h^2}f(x+h)-\frac{1}{12h^2}f(x+2h)\end{array}$$

3. 编程: 用第 $1、2$ 题中的数值格式计算 $f(x)=e^x$ 在 $x=0$ 处的一阶和二阶导数, 取 $h=$ $10^{-1}\sim 10^{-9}$ , 考察误差的收敛性。

3.1. 代码

f1[h_, x_] := (1/(
 2 h))(-8 E^(x - h/2) + 3 E^x - E^(x - 2 h) + 6 E^(x - h))
f2[h_, x_] := -1/(12 h^2) E^(x - 2 h) + 4/(3 h^2) E^(x - h) - 
  5/(2 h^2) E^x + 4/(3 h^2) E^(x + h ) - 1/(12 h^2) E^(x + 2 h)
Table[{N[f1[10^-i, 0] - 1, 12], 
  N[f2[10^-i, 0] - 1, 12]}, {i, 1, 9}]

3.2 结果

{{0.00229179566032, -1.11210363771*10^-6}, {0.0000247823397256, \
-1.11112103179*10^-10}, {2.49781359335*10^-7, -1.11111121032*10^-14}, \
{2.49978126094*10^-9, -1.11111111210*10^-18}, {2.49997812511*10^-11, \
-1.11111111112*10^-22}, {2.49999781250*10^-13, \
-1.11111111111*10^-26}, {2.49999978125*10^-15, \
-1.11111111111*10^-30}, {2.49999997813*10^-17, \
-1.11111111111*10^-34}, {2.49999999781*10^-19, -1.11111*10^-38}}