电磁学-第一章 静电场

静电场

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电荷

1. 电荷的种类：正电荷与负电荷
2. 电荷的量子性：电荷总是以一个基本单元的整数倍出现：$e=1.602\times 10^{-19}C$
3. 电荷守恒：一个没有净电荷出入边界的系统正负电荷的电量的代数和保持不变。
4. 电荷的相对论不变性：一个电荷的电量与它的运动状态无关。

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库仑定律

相对于惯性系观察, 自由空间 (或真空) 中两个静止的点电荷之间的作用力 (斥力或吸力, 统称库仑カ) 与这两个电荷所带电量的乘积成正比, 与它们之间距离的平方成反比, 作用力的方向沿着这两个点电荷的连线。这一规律用矢量公式表示为

$$\vec{F}=k\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}\hat{r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}\hat{r}$$

($\hat{r}$ 是单位向量) in SI units:

$$\begin{array}{rl}& k=8.988\times 10^9\approx 9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2\\ & {\epsilon }_0=\frac{1}{4\pi k}=8.85\times 10^{-12}{\mathrm{C}}^2/\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$$

${\epsilon }_0:$ permittivity of free space(真空介电常量)

库仑定律只讨论两个静止的点电荷间的作用力,当考虑两个以上的静止的点电荷之间的作用时,就必须补充另一个实验事实:两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而有所改变。因此,两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。这个结论叫电力的叠加原理

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电场和电场强度

电场中任意的电场强度等于位于该点的单位正电荷所受的力，$E$ 是空间坐标的矢量函数，$q$ 起到检验电场的作用，称为检验电荷。

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}$$

在国际单位制中, 电场强度的单位名称为牛每库, 符号为 $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ 。以后将证明, 这个单位和 $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ 是等价的, 即

$$1\mathrm{V}/\mathrm{m}=1\mathrm{N}/\mathrm{C}$$

代入可得

$$\mathbf{E}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\mathbf{F}}_i}{q}=\sum _{i=1}^n\frac{{\mathbf{F}}_i}{q}$$

式中, ${\mathbf{F}}_i/q$ 是电荷 $q_i$ 单独存在时在 $P$ 点产生的电场强度 ${\mathbf{E}}_i$ 。

$$\mathbf{E}=\sum _{i=1}^n{\mathbf{E}}_i$$

此式表示: 在 $n$ 个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。这个结论叫电场叠加原理。

在场源电荷是静止的参考系中观察到的电场叫静电场, 静电场对电荷的作用力叫静电力。在已知静电场中各点电场强度 $\mathbf{E}$ 的条件下, 可由式 (12.6) 直接求得置于其中的任意点处的点电荷 $q$ 受的力为

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

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静止的点电荷电场及其叠加

点电荷场强分布公式：

$E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathbf{e}$ 若带电体的电荷是连续分布的, 可认为该带电体的电 荷是由许多无限小的电荷元 $\mathrm{d}q$ 组成的, 而每个电荷元都可以当作点电荷处理。设其中任 一个电荷元 $\mathrm{d}q$ 在 $P$ 点产生的场强为 $\mathrm{d}\mathbf{E}$, 按式 (12.9)有

$$\mathrm{d}\mathbf{E}=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\widehat{{\mathbf{e}}_r}$$

式中, $r$ 是从电荷元 $\mathrm{d}q$ 到场点 $P$ 的距离, 而 ${\mathbf{e}}_r$ 是这一方向上的单位矢量。整个带电体在 $P$ 点所产生的总场强可用积分计算为

$$\mathbf{E}=\int \mathrm{d}\mathbf{E}=\int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\widehat{{\mathbf{e}}_r}$$

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带电直棒的电场强度计算

带点直棒的电场强度计算示意图

对于这样的计算，我们首先将其分解成直角坐标系 $X-Y$ 方向， 根据：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}Q& =\lambda \mathrm{d}x\\ \mathrm{d}E& =\frac{\lambda \mathrm{d}x}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}\\ \mathrm{d}{E}_x& =\mathrm{d}E\cdot \cos \theta \\ \mathrm{d}{E}_x& =\mathrm{d}E\cdot \sin \theta \end{array}$$

得到：

$$\begin{array}{rl}{E}_x& =\int \frac{\lambda dx}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cos \theta \\ & =\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\cos \theta d\theta \\ & =\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}\left(\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1\right)\\ E_y& =\int \frac{\lambda dx}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\sin \theta \\ & =\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\sin \theta d\theta \\ & =\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}\left(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2\right)\end{array}$$

当棒的长度趋于无穷时，$E_y$ 的值为0， 而 $X$ 方向的值为 $\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}a}$

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无限带点平面的电场强度计算

对于平面，我们可以将其割分成无数个长直棒的组合，那么就有单位长度的电荷密度： $\lambda =\sigma \mathrm{d}x$ ，而 $a=r\cos \theta$, $\frac{x}{r}=\sin \theta$, 此时只有沿垂直平面的电场强度，进一步计算得到：

A plane of charge

$$\begin{array}{rl}E& =E_y={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sigma dx}{2\pi {\epsilon }_{0}r\cos \theta }\\ & =\frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta \\ & =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\end{array}$$

这里也可以使用后面的方法，将平面视为多个圆环的累加,或者使用高斯定律 计算得到的结果相同

电极板之间的电场强度

一个阳极一个阴极板，遵循电场叠加原理，得到区域内任意一点的电场强度： $\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$

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均匀带电圆环的电场强度

对于圆环，很多可能就是当成直线取处理，但是这里可以直接使用圆环整体的电荷量去计算。

Uniform charged ring

均匀半圆环处圆心的电场强度

直接积分即可。对于一个带电量为 $Q$ , 半径为 $R$ 的半圆环来说， $\lambda =\frac{Q}{R\mathrm{d}\theta }$, $\mathrm{d}Q=\frac{Q}{\pi R}\mathrm{d}\theta$

$$\begin{array}{rl}{E}_y& ={\int }_0^{\pi }\sin \theta \mathrm{d}E\\ & ={\int }_0^{\pi }\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1}{R^2}\frac{Q}{\pi R}\sin \theta \mathrm{d}\theta \\ & =\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}R}\end{array}$$

均匀带点圆盘的电场强度

看成是多个带电圆环的叠加即可。 此时 $\mathrm{d}Q=\sigma 2\pi r\mathrm{d}r$

Uniform charged disk

这里呼应前面的计算无限带点平面的例子，只需要把 $R\to \infty$ 代入即可得到结果

电偶极子在均匀电场中所受的力矩

dipole torque

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高斯定律

为了可视化表述电场在空间中的分布，我们提出了电场线 (electric field lines) 这一概念。曲线上每一点的切线方向表示为该点场强的方向，曲线的疏密表示场强的大小。

有了电场线，就可以过渡到电通量 (Electric flux) 的概念，定义为通过单位面积的电场线条数。相关课本和资料已有具体介绍，这里就给出用矢量标积表示的电通量形式： $\mathrm{d}{\Phi }_e=\vec{E}\cdot \vec{S}$ 该式决定的电通量有正负之分，当两者夹角为钝角时，该式为负。

自然而然的，为了求出通过任意曲面 $S$ 的电通量，可将曲面 $S$ 分割成许多小面元 $\mathrm{d}S$ 然后执行面积分得到。

$${\Phi }_{\mathrm{e}}=\int \mathrm{d}{\Phi }_{\mathrm{e}}={\int }_S\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$$

对于一个封闭曲面，其对应的面积分就为： ${\Phi }_e={\oint }_S\vec{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}$

库仑定律给出了场源电荷和他们的电场的分布关系。利用电场线的概念，我们可以使用 高斯定律 把该关系表述出来。这里为了统一起见，一般规定自内而外的方向作为各处面元法向的正方向，也就是说，通过整个封闭曲面的电通量 ${\Phi }_e$ 就等于净穿出封闭面的电场线的总条数。

高斯定律描述了真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量与该封闭面所包围的电荷量的关系。

我们可以从点电荷的电场强度来一步步导出该关系。

对于电荷量为 $q$ 的点电荷而言，以该点为球心，$r$ 为半径做一个球面 $S$ 包围该电荷。球面上任意一点的电场强度为 $\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{R}^2}$, 方向与球面垂直，对球面做一次球面积分得到：

$${\Phi }_{\mathrm{e}}={\oint }_S\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}={\oint }_S\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}\vec{S}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\oint }_S\mathrm{d}\vec{S}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$$

该结果表明电通量与假想的球面半径无关，只和点电荷的电量有关，这也符合我们的直觉。

如果该封闭曲面不包围该点电荷，由于电场线的连续性，可以想到，穿入该曲面和穿出该曲面的电场线数目相同，该曲面的电通量为0.

对于多个点电荷所构成的静电场，由 场强叠加原理 可以验证，上式可以写成：

$${\Phi }_{\mathrm{e}}={\oint }_S\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_{in}$$

这就是高斯定律的数学表达式。

在一个参考系内，当静止的电荷分布具有某种对称性时，可以应用高斯定律求场强分布。

1. 根据电荷分布特点选取合适的封闭积分曲面，以便曲面积分中的 $E$ 能够以标量形式从积分号内提取出来。
2. 应用高斯定律计算场强数值。

利用高斯定律求电场分布

• 求无限长的均匀带点直线的电场分布。电荷线密度为 $\lambda$

高斯定律求电场分布

带电直线的电场分布具有对称性，考虑离直线距离为 $r$ 的一点 $P$ 处的场强 $E$

作一个经过 $P$ 点，以该带点直线为轴，高为 $l$ 的圆筒封闭高斯曲面 $S$ ，通过 $S$ 的只有侧面的这一面，得到

$${\oint }_S\vec{E}\cdot \mathrm{d}S=\vec{E}\cdot 2\pi rl=\lambda \frac{l}{{ϵ}_0}$$

最后整理得到跟之前一样的结果。

• 求无限大均匀带电平面的电场分布。已知带点平面的单位面积电荷密度为 $\sigma$

选取一个轴垂直于带点平面，且中心经过带电平面的封闭圆筒高斯面 $S$ 。侧面上的电通量为0（该点的场强平行于侧面），只需要计算两个底面的电通量即可。

$$2E{S}_g=\frac{\Sigma q_{in}}{{ϵ}_0}=\frac{\sigma S_g}{{ϵ}_0}$$

计算后得到的结果跟上面相同。

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参考资料

本节的内容中文字大部分来自于¹ ，大部分图片来自课程的ppt²

Footnotes

1. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

2. 吴昊. Physics. 课程PPT ↩