数值分析-第三次作业

第三次作业

1

$\mathrm{Inverse}[\{\{1,1\},\{1+\delta ,1\}\}]$= $\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\delta }& \frac{1}{\delta }\\ -\frac{-\delta -1}{\delta }& -\frac{1}{\delta }\end{array}\right)$

可逆方阵 $A$ 的条件数 $\mathrm{cond}(A)=\Vert A{\Vert }_{\infty }\Vert A^{-1}{\Vert }_{\infty }$ $\Vert A{\Vert }_1={\max }_{1\le j\le n}\left(\left|a_{1j}\right|+\cdots +\left|a_{nj}\right|\right)$, 最大绝对列和 $\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{\rho \left(A^{T}A\right)},A^{T}A$ 的谱半径 (特征值的最大模) 的平方根 $\Vert A{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le i\le n}\left(\left|a_{i1}\right|+\cdots +\left|a_{in}\right|\right)$, 最大绝对行和

当系数矩阵为可逆矩阵时，即$\mathrm{Det}[\{\{1,1\},\{1+\delta ,1\}\}]=-\delta \ne 0$

因为 $\delta >0$, 系数矩阵的条件数 $Cond(A)=(2+\delta )\cdot (1+\frac{2}{\delta })=4+\delta +\frac{4}{\delta }⩾8$

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精确解：

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

误差放大因子 $\frac{{\Vert x_a-x\Vert }_{\infty }/\Vert x{\Vert }_{\infty }}{\Vert r{\Vert }_{\infty }/\Vert b{\Vert }_{\infty }}=\frac{(2+\delta {)}^2}{\delta }$

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2

高斯消元法

将增广矩阵写成：

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 1& 2& 11\\ 6& 3& 4& 24\\ 3& 2& 5& 22\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{cccc}3& 1& 2& 11\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 1& 3& 11\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{cccc}3& 1& 2& 11\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 3& 9\end{array}\right]$$

现在进行回代，从最后一行开始，有：

$x_3=3$

将这个结果代入第二行，有：

$x_2=2$

最后将 $x_2$ 和 $x_3$ 的值代入第一行，有：

$x_1=1$

因此，方程组的解为：

$x_1=1,x_2=2,x_3=3$

列主消元法

$$\left[\begin{array}{cccc}6& 3& 4& 24\\ 3& 1& 2& 11\\ 3& 2& 5& 22\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{cccc}6& 3& 4& 24\\ 0& -\frac{1}{2}& 0& -1\\ 0& \frac{1}{2}& 3& 10\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{cccc}6& 3& 4& 24\\ 0& -\frac{1}{2}& 0& -1\\ 0& 0& 3& 9\end{array}\right]$$

回代得到：

$x_3=3,x_2=2,x_1=1$

LU分解法

对原矩阵进行 $Doolihle$ 分解

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 6& 3& 4\\ 3& 2& 5\end{array}\right]=LU& =\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 6& 3& 4\\ 3& 2& 5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 6& 3& 4\\ 3& 2& 5\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ l_{21}& 1& \\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{21}& u_{31}\\ & u_{22}& u_{23}\\ & & u_{33}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}\\ l_{21}{u}_{11}& l_{21}{u}_{12}+u_{22}& l_{21}{u}_{13}+u_{23}\\ l_{31}{u}_{11}& l_{31}{u}_{12}+l_{32}{u}_{22}& l_{31}{u}_{13}+l_{32}{u}_{23}+u_{33}\end{array}\right]\end{array}$$

解得LU后整理得到：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ 2& 1& \\ 1& 1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ & 1& 0\\ & & 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}11\\ 24\\ 22\end{array}\right]$$

令 $UX=Y$,解 $LY=b$ 得：

$$\{\begin{array}{r}{y}_1=11\\ 2y_1+y_2=24\\ y_1+y_2+y_3=22\end{array}\Vert \Rightarrow \{\begin{array}{r}{y}_1=11\\ y_2=2\\ y_3=9\end{array}\Vert$$

解$UX=Y$得：

$$\{\begin{array}{r}3x_1+x_2+2x_2=11\\ x_2=2\\ 3x_3=9\end{array}\Vert \Rightarrow \{\begin{array}{r}{x}_1=1\\ x_2=2\\ x_3=3\end{array}\Vert$$

PA=LU 分解

$$\begin{array}{rl}PA& =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ 3& 1& 2\\ 3& 2& 5\end{array}\right]\Rightarrow \text{消去第一列}\\ & =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 3\end{array}\right]\Rightarrow \text{消去第三列}\\ & =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& -1& 3\end{array}\right]\Rightarrow \\ A& =LU=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \frac{1}{2}& 1& 0\\ \frac{1}{2}& -1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ 0& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]\end{array}$$

第一次回代 $Lc=Pb$ 得到：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \frac{1}{2}& 1& 0\\ \frac{1}{2}& -1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}24\\ 11\\ 22\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{c}_1=24\\ c_2=-1\\ c_3=9\end{array}\right]$$

第二次回代 $Ux=c$得到

$$\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 4\\ 0& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}24\\ -1\\ 9\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_2=2\\ x_3=3\end{array}\right]$$

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3

程序结果：

高斯消元、LU分解