数值分析-第一次作业-误差与计数

数值分析01BackgroundAndBasis

第一题

对于单精度浮点数 $fl(9.4)$ 01000001000101100110011001100110 = $1.00101100110011001100110\times 2^3$ 同理，$fl(9)$ 为 01000001000100000000000000000000 = $1.00100000000000000000000\times 2^3$ $fl(0.4)$ 为 00111110110011001100110011001101 = $1.10011001100110011001101\times 2^{-2}$

$fl(9.4)-fl(9)=0.00001100110011001100110\times 2^3$

$fl(0.4)$ 对齐小数点位得到（小阶向大阶）： $0.00001100110011001100110\underline{01101}\times 2^3$

两者相减得到： -0.0000000000000000000000001101 × 2^3 格式化再截位后得到： -1.1010000000000000000000 ×2^-22 化成十进制： -6.5 × 2

在C语言程序中计算可以得到结果确实正确

第一题程序结果|保留12位小数

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第二题

对于优化算法，采用秦九韶算法对计算过程进行优化。 由于编译器本身对于算法的优化，也就是当编译程序发现某一段代码在重复的做无用功后，会直接忽略该段代码（在gcc高版本上存在），导致无法直接计算10^9次循环，所以在程序中采用了数组存储结果来避免被优化。 程序中时间差值较小（我看见有同学的优化算法是差不多直接算法用时的1/10），我分析是优化算法的本身时间其实是比较小，而占大头的应该是将结果储存在数组中的用时。

所以差值只能体现两种算法的用时差值，得不到优化算法是直接算法效率的多少倍之类的说法。不过即使是差值也能体现优化算法的优越性了。

第二题的结果

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第三题

对于公式 $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^x\mathrm{d}x$ 使用分部积分得到： $I_n=e-n{I}_{n-1}$ 得到正向和逆向的递推公式：

$$I_n=e-n{I}_{n-1}{I}_{n-1}=\frac{e-I_n}{n}$$

在计算机中为了计算方便，使用双精度浮点数储存并保存12位小数。 使用软件Mathmatica 进行先验计算得到：

$$\begin{array}{rl}{I}_0=e-1& =2.71828182845904524\\ I_{20}& =0.12380383076256995\end{array}$$

试验结果|序号|正向|逆向|

可以看出，正向递推的结果从$I_{17}$开始误差开始明显增大，而逆向递推的结果保持稳定。 正向递推误差会随着递推次数增加而不断增加，每次扩大大约$n$倍；而逆向递推的误差会随着次数增加而减少，误差每次减少约 $\frac{1}{n}$倍。由此可见，逆向递推的误差和稳定性都明显优越于正向递推。 设精确值为 $I_n^{\ast }$ ，$I_n=I_n^{\ast }+\Delta I_n$ 那么正向递推：$\Delta I_n=I_n-I_n^{\ast }=-n\Delta I_{n-1}$ 逆向递推：$\Delta I_{n-1}=I_{n-1}-I_{n-1}^{\ast }=\frac{-1}{n}\Delta I_n$