电磁学-第三章 电介质

电介质

这里先挖个坑，我上课时老师并没有深入讲解电介质部分的内容，如电介质的极化，D的高斯定律，边界条件。所以这部分暂时跳过，先讲电容。

电容和电容器

电容器(Capacitor) 是一种由两个用电介质隔开的金属导体组成，用于储存电荷的容器。 电容器工作时他的两个金属板的相对表面上总是分别带上一定的等量异号的电荷 $+Q$ 和 $-Q$ 。一个电容器所带的电量 $Q$ 总是与其电压 $U$ 成正比，我们将该比值叫做电容器的 电容(Capacitance) 。使用 $C$ 表示为 :

$$C=\frac{Q}{U}$$

单位为 法拉第(farad)， 符号为 $F$， 由于电容器的电容一般都很小，所以常用的单位为 $\mu F(10^{-6}F)\&\mathrm{p}F(10^{-12}F)$ 。在电路图中使用 “ —| |—” 表示电容器。

平行板电容器

简单电容器的电容可以容易的通过公式推导出来，忽略边缘效应后，有：

$$\begin{array}{r}E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{Q}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}\\ V=Ed=\frac{\sigma d}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{Qd}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}\\ C=\frac{Q}{V}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}\end{array}$$

其中 ${\epsilon }_r$ 为两板之间所填充的电介质对应的相对介电常数，如果为真空（或者一般空气里）则 ${\epsilon }_r=1$ 。

圆柱形电容器

圆柱形电容器

圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒组成。筒的半径分别为 $R_1,R_2$ ，筒的长度为 $L(L\gg R_2)$ ，两筒之间充满了相对介电常数为 ${\epsilon }_r$ 的电介质。两个圆筒的内外壁分别带有等量异号的电量 $Q$ 。忽略边缘效应。利用 D 的高斯定律 ¹ 可以得到距离轴线为 $r$ 的电介质中一点的电场强度为：

$$E=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}rL}$$

两板之间的电压：

$$U_{12}={\int }_{R_1}^{R_2}E\cdot \mathrm{d}r=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}L}\ln \frac{R_2}{R_1}$$

得到最后的电容：

$$C=\frac{Q}{U_{12}}=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}L}{\ln \frac{R_2}{R_1}}$$

球形电容器

可以使用类似的方法得到球形电容器的电容：

球形电容器

$$C=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$$

电容的串并联

在实际电路中遇到当单独一个电容器的电容或者耐压能力不足时，就会把几个电容器连接使用，常见的基本方式有串联和并联两种。 下图来自²

Capacitors in series and parallel

• 并联时,总电容增大了,但因每个电容器都直接连到电压源上，所以电容器组的耐压能力受到耐压能力最低的那个电容器的限制。
• 串联时,总电容比每个电容器都减小了,但是,由于总电压分配到各个电容器上，所以电容器组的耐压能力比每个电容器都提高了³

电容器的能量

计算电容器带有电量 $Q$ ，相应的电压为 $U$ 时所具有的能量，过程可以根据电容器在放电过程中电场力对电荷做的功来计算。在微小放电过程中做功：

$$\mathrm{d}W=U\mathrm{d}Q=\frac{Q}{C}\mathrm{d}Q$$

对其积分：

$$\begin{array}{rl}W& =\int \frac{Q}{C}\mathrm{d}Q=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\\ U& =\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}QV\end{array}$$

这里对 $U=\frac{1}{2}C{V}^2$ 进行换算可以得到 $U=\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}(ED{)}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\cdot Sd$ 这里的 $Sd$ 就是电容板之间的间隙体积，把它换算后就是第一节的能量了。

电介质的部分补充⁴

同学的笔记截图

第一部分介绍了电介质的作用有大概三个部分，提了一下介电常数。

第二部分则是不同形式的填充电介质对电容的影响，分别对应等效串联和并联

第三部分则是对电介质的微观解释，在讨论电场中电介质的行为时，我们认为电介质就是由大量的微小电偶极子所组成。电介质在电场中被激化，极性分子 具有 固有电矩 而 非极性分子 在电场作用下 出现了 感生电矩 。电介质在电场的作用下表现出束缚电荷的现象，称为 电介质的极化 。 这里的束缚电荷同样会对电场的分布产生影响，可以用最右下方的公式表示出来。后面就借此引入了 D的高斯定律

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参考资料

Footnotes

1. 电介质在电场中除了自由电荷外还多了束缚电荷，这两种电荷都会对电场的分布产生影响，引入一个辅助物理量 电位移 $D={\epsilon }_{0}E+P={\epsilon }_0{\epsilon }_{r}E=\epsilon E$ ( $\epsilon$ 便是电介质的 介电常量 或 电容率 )来推导出 $D$ 的高斯定律：${\oint }_S\mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\sum q_{0\text{ in }}$ 文字表示就是通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭曲面包围的自由电荷的代数和。 ↩

2. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

3. 吴昊. Physics II. 课程PPT ↩

4. 黄咏皓. Physics 课程笔记 ↩