电磁学-第六章 电磁感应

法拉第电磁感应定律

对所有的电磁感应实验的分析表明，当闯过一个闭合导体回路所限定的面积的磁通量发生变化时，回路中就出现电流，这电流就叫做 感应电流， 对应的电动势称为 感应电动势

实验总结出：感应电动势的大小和通过导体回路的磁通量的变化率成正比 。于是有如下的 表达式：

$$\epsilon =-\frac{d{\Phi }_B}{dt}$$

这就是 法拉第电磁感应定律 的一般表达式。

这里的负号可以使用 楞次定律 帮助理解：感应电动势总具有这样的方向，即使得它产生的感应电流在回路中产生的磁场去阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。

算例

EMF of rotating coil

动生电动势

本节讨论的是导体在恒定磁场中运动产生的感应电动势，称为 动生电动势

同学笔记的截图

使用法拉第定律推导动生电动势

算例

Rotating in nonuniform field

感生电动势

一个静止的导体回路，当它包围的磁场发生变化时，穿过它的磁通量也会发生变化，这时回路中也会产生感应电动势。这样产生的感应电动势称为 感生电动势， 对应的有 感生电场 。

由于导体回路未动，所以它不可能像在动生电动势中那样是洛伦兹力。由于这时的感应电流是原来宏观静止的电荷受非静电力作用形成的，而静止电荷是磁场的变化引起的，所以叫做 感生电场 。

以 $E_i$ 表示感生电场，根据电动势的定义，由于磁场的变化，在一个导体回路中 $L$ 中产生的感生电动势应为：

$$\epsilon ={\oint }_L{E}_i\cdot \mathrm{d}l=-\frac{\mathrm{d}{\Phi }_B}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_s\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=-{\int }_s\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

使用 stokes 公式有旋度表达式： $\nabla \times E_i=-\frac{\partial B}{\partial t}$ ，此时的感生电场性质跟磁场更像：无源， 有旋

算例

Vortex electric field

电磁学中几种场的比较

静电场	感生电场	磁场
$\oint E_s\cdot \mathrm{d}l=0$	$\oint E_i\cdot \mathrm{d}l=-\frac{\mathrm{d}{\Phi }_B}{\mathrm{d}t}$	$\oint B\cdot \mathrm{d}l={\mu }_o{I}_{in}$
$\oint E_s\cdot \mathrm{d}S=\frac{Q_{in}}{{\epsilon }_0}$	$\oint E_i\cdot \mathrm{d}S=0$	$\oint B\cdot \mathrm{d}S=0$

参考资料

教材部分来自¹ ，PPT截图部分来自²， 手写笔记截图来自³ 。

Footnotes

1. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

2. 吴昊. Physics II. 课程PPT ↩

3. 黄咏皓. Physics 课程笔记 ↩