量子力学入门-第二章 薛定谔方程

薛定谔方程

上节说到，德布罗意引入了和粒子联系的波。粒子的运动可以用波函数 $\Psi (x,y,z,t)$ 来描述。对于波，那么应该有一个波动方程。薛定谔就在其导师德拜的鼓励下开始寻找符合条件的波方程。

首先我们考虑最简单的情况，考虑一个自由粒子 $(E,p)$ 沿着 $x$ 轴运动，用上德布罗意波的公式： $\lambda =\frac{h}{p},f=\frac{E}{h}$ ，那么普通波方程 $y(x,t)=Acos(2\pi ft-2\pi \frac{x}{\lambda })$ 可以变成如下形式： $y(x,t)=Acos(\frac{E}{\hslash }t-\frac{p}{\hslash }x)$ 为了得到满足概率幅的叠加规则，薛定谔将波函数视为复数形式，把上式作为该函数的实部，稍加整理，得到： $\Psi =A{e}^{\frac{-i}{\hslash }(Et-px)}$ 该函数满足波的微分形式：

$$\Psi =A{e}^{-\frac{i}{\hslash }(Et-px)}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}=-\frac{p^2}{{\hslash }^2}\Psi \\ \frac{\partial \Psi }{\partial t}=-\frac{i}{\hslash }E\cdot \Psi \end{array}$$

对于非相对论的自由粒子：$E=\frac{p^2}{2m}$ ，带入到上式得到：

$$\begin{array}{r}-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}=i\hslash \frac{\partial \Psi }{\partial t},\text{ or }-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}+U\Psi =i\hslash \frac{\partial \Psi }{\partial t}\end{array}$$

其中，第二个就是薛定谔方程，为了后续研究方便，我们定义哈密顿算子（Hamilton operator)：

$\bar{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+U$

薛定谔为了方便讨论，定义了波函数有个时间振子，且可以分离出来成为独立变量：$\Psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)f(t)$

$$\frac{H\psi (x,y,z)}{\psi (x,y,z)}=i\hslash \frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}=E$$

带入回上式，得到定态薛定谔方程：

$$\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+U\right)\psi =E\psi$$

特别当波函数为关于x轴方向时：$\psi =\psi (x)$ 称为定态波函数。

对于标准和定态薛定谔方程，它们都是线性微分方程，这意味着它们都满足概率幅的叠加原理。第二从数学上说，对任意 $E$ 定态薛定谔方程都有解，但是只有当解为单值的，有限的，连续的才能作为有物理意义的波函数。

实际上，薛定谔在推导薛定谔方程时并不严谨，甚至可以说都是“凑”出来的，但正是这种根据少量事实，半猜半凑的思维方式常常能得到全新的理论或者概念。普朗克的量子概念，爱因斯坦的相对论，德布罗意的物质波都大致是这样推导出来的。

无限深方势阱中的粒子

infinityly deep square well potential

我们以图上这种简单的情形分析薛定谔方程会给出什么结果。

势阱是一种简单的理论模型。自由电子在金属块内部可以自由运动,但很难逸出金属表面。这种情况下，自由电子就可以认为是处于以金属块表面为边界的无限深势阱中。在粗略地分析自由电子的运动(不考虑点阵离子的电场)时,就可以利用无限深方势阱这一模型。

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+U\psi =E\psi$$

Can’t escape, so $\psi (x)=0,x\le 0$ and $x\ge L$

$$0<x<L,U(x)=0,\text{ so: }-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=E\psi$$

Or: $\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+k^2\psi =0$ where $k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$

this equation has the same form of simple harmony motion . So the general solution is $\psi (x)=A\sin kx+B\cos kx$

$\psi$ must be continuous, so $\begin{array}{ll}x=0& x=L\end{array}$

$$\begin{array}{rl}& \psi (0)=\psi (L)=0\Rightarrow B=0,\sin kL=0\\ \therefore & k=\frac{n\pi }{L},n=1,2,\dots \Rightarrow E_n=n^2\frac{{\pi }^2{h}^2}{8m{L}^2}\text{ Quantized! }\end{array}$$

The wave function: ${\psi }_n(x)=A\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)$

1. The energy of particle is quantized. $n$ : quantum number of state
2. The minimum energy is not zero! Microscopic particles will not stay at rest!

final solution and its plot

势垒穿透

势垒穿透的推导

式子 $(27.38)$ 指出，在势能有限的区域里，粒子出现的概率不为零，也就是说，在其势能大于其总能量的区域内，粒子仍有一定的概率密度。这一量子力学现象就叫做 势垒穿透 或 隧道效应 。

该现象的一个重要应用就是扫描隧穿显微镜，即 $STM$ 。同时热核反应中的 ${}^{2}H$ 和 ${}^{3}H$ 就是通过势垒穿透而聚合到一起，这也是为什么热核反应需要很高温才能发生的原因。

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参考资料

教材部分来自¹ ，PPT截图部分来自² 。

Footnotes

1. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

2. 吴昊. Physics II. 课程PPT ↩