信息论作业

习题 2-2（p 117）: 5.2（2）取 $h_1{h}_2{h}_3{h}_4=0111$ 、5.3（3）

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5.2（2）

$$H=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

根据系统码生成矩阵有:

$$G_s=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 1\end{array}\right]$$

因此所有码字为：

$$\begin{array}{c}[0,1][0,0]G_s=[0,0,0,0,0,0]\\ [0,1]G_s=[0,1,0,1,1,1]\\ [1,0]G_s=[1,0,1,1,1,0]\\ [1,1]G_s=[1,1,1,0,0,1]\end{array}$$

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5.3 (3)

$$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]G_s=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

解得生成矩阵:

$$G=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1\end{array}\right]$$

由公式：

$$G\cdot H^{\top }=0$$

得到对应一种的一致校验矩阵：

$$H_s=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1\end{array}\right]$$