概率论作业-第二章+第三章

第二章

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M 件产品中有 m 件废品，今在其中任取两件，求： （1）取出的两件中至 少有一件是废品的概率； （2）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件 也是废品的条件概率； （3）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品 的条件概率

1. A={取出的两件中至少有一件是废品}；B={取出的两件中没有废品}有：$P(A)=P(\bar{B})=1-\frac{C_{M-m}^2}{C_M^2}$
2. C={取出的两件全是废品}。$P(C|A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{C_m^2}{1-\frac{C_{M-m}^2}{C_M^2}}$ ~~3. D={取出的两件中至少一件是成品}。 $P(C|D)=\frac{P(CD)}{P(D)}=\frac{C_m^1{C}_{M-m}^1}{C_m^1{C}_{M-m}^1+C_m^2}$

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摩托车赛道在甲乙两地间设置了三个障碍. 一位参赛者在每一障碍前停 车的概率为 0.1, 而从乙地到终点不停车的概率为 0.7. 试求这位参赛者全程不停 车的概率.

A={参赛者在甲乙两地之间不停车到达乙地}， B={参赛者在乙地到终点之间不停车}， C={参赛者全程不停车} $P(A)=0.9^3=0.729P(B)=0.7$ $P(C)=P(AB)=P(A)\times P(B)=0.5103$

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甲乙两人轮流射击，先击中目标者获胜。设甲、乙击中目标的概率分别 为 p1及 p2，甲先开始射击，求甲获胜的概率

$A=\{\text{甲先获胜}\}$

1. 甲射中目标，获胜，概率为 $p_1$。
2. 甲未射中目标，轮到乙射击且未命中目标。 在此情况下甲获胜概率依旧是 $P(A)$

因此，甲获胜的概率可以表示为：

$P(A)=p_1+(1-p_1)(1-p_2)P(A)$

化简得：

$P(A)=\frac{p_1}{p_1+p_2-p_1{p}_2}$

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在一盒子中装有 15 个乒乓球，其中有 9 个新球。在第一次比赛时任意 取出三个球，赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第二 次取出的三个球均为新球的概率

$A_i=\{\text{第一次比赛中取出的三个球中有i个是新球}\},i=0,1,2,3$ $A=\{\text{第二次取出的三个球均为新球}\}$ $P(A)=\sum _{i=0}^{3}P(A_i)P(A|A_i)=\frac{C_6^3}{C_{15}^3}\frac{C_9^3}{C_{15}^3}+\frac{C_9^2{C}_6^2}{C_{15}^3}\cdot \frac{C_8^3}{C_{15}^3}+\frac{C_9^2{C}_6^1}{C_{15}^3}\cdot \frac{C_7^3}{C_{15}^3}+\frac{C_9^3{C}_6^3}{C_{15}^3{C}_{15}^3}\approx 0.0893$

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已知一批产品中 96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品 的概率为 0.98, 而误认废品是合格品的概率为 0.05, 求检查合格的一件产品确系 合格的概率

设 $A=\{取出一件产品为合格品\}$ $B=\{检查一件产品为合格品\}$

$$\begin{array}{rl}& P(A)=0.96P(B\mid A)=0.98P(B\mid \bar{A})=0.05\\ & P(A\mid B)=\frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(A{)}^{\ast }P(B\mid A)+P(\bar{A})\cdot P(B\mid \bar{A})}\approx 0.9979\end{array}$$

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炮战中，若在距目标 250 米，200 米，150 米处射击的概率分别为 0.1， 0.7，0.2，而在各处射击时命中目标的概率分别是 0.05，0.1，0.2，现已知目标被 击毁，求击毁目标的炮弹是从距目标 250 米处射出的概率

$B=\text{目标被击毁}$ $C_1=\text{击毁目标的炮弹是从距目标 250 米处射出}=0.005$ $C_2=\text{击毁目标的炮弹是从距目标 200 米处射出}=0.07$ $C_3=\text{击毁目标的炮弹是从距目标 150 米处射出}=0.04$ $P(B)=P(C_1)+P(C_2)+P(C_3)=0.115$ $P(C_1|B)=\frac{P(C_1)}{P(B)}=\frac{1}{23}$

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设 A1, A2,…, An 相互独立，而 P(Ak)= pk，试求：(1) 所有事件全不发生的 概率；（2）诸事件中至少发生其一的概率；（3）诸事件恰好发生其一的概率

$A=\{\text{所有事件全不发生}\}$ $B=\{\text{所有事件中至少发生其一}\}$ $C=\{\text{所有事件恰好发生其一}\}$ $P(A)={\Pi }_{i=1}^{n}P(\overline{A_i})={\Pi }_{i=1}^n(1-p_i)$ $P(B)=p(\bar{A})=1-P(A)=1-{\Pi }_{i=1}^n(1-p_i)$ $P(C)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i){\Pi }_{j=1}^{i-1}P(\overline{A_j}){\Pi }_{j=i+1}^{n}P(\overline{A_j})$

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某仪器上有三个独立工作的指示灯, 第一、第二、第三个指示灯出错的概率分别为 0.1，0.2 及 0.3. 一个指示灯出错时造成系统运行失败的概率是 0.25, 两个指示灯出错时为 0.6, 而三个都出错时为 0.9. 求系统运行失败的概率

设 $A$ 表示”机器发生故障”， $A,i=1,2,3$ 表示”烧坏 $i$ 个灯泡机器发生故障”， $B_j,j=1,2,3$ 表示”烧坏第 $j$ 个灯泡机器发生故障”则 $P(A_1)=0.25;P(A_2)=0.6,P(A_3)=0.9;P(B_1)=0.1,P(B_2)=0.2,P(B_3)=0.3$ . 故

$$\begin{array}{rl}P\left(A\right)& =0.25\times (0.1\times 0.8\times 0.7+0.9\times 0.2\times 0.7+0.9\times 0.8\times 0.3)\\ & +0.6\times (0.1\times 0.2\times 0.7+0.1\times 0.8\times 0.3+0.9\times 0.2\times 0.3)\\ & +0.9\times 0.1\times 0.2\times 0.3\\ & =\mathrm{0.1601.}\end{array}$$

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说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切含义

重复独立试验指的是，进行多次相同实验并且每次实验的结果不会影响下一次实验的结果。

在这种情况下，“小概率事件必然发生”的确切含义是，尽管某个事件的出现概率很小，但在进行足够多次的独立试验后，该事件总会发生。

这是由于当试验次数足够大时，小概率事件出现的概率始终存在，就像掷硬币一样，即使每次的理论出现正反面的概率都是50%，但是在经历足够多的试验后，仍有可能出现连续6次都为正面的情况。

第三章

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1. 你认为概率论中引入随机变量与分布函数的意义是什么？

1. 将随机事件抽象为数学模型，可以用数学的方法去研究与分析随机事件的性质
2. 分布函数使我们能够理解和预测随机事件的规律和趋势

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2. 随机变量的分布函数本质是概率， 将概率的性质与分布函数的相关性质进行类比.

1. 分布函数的非负性和单调性都是概率的基本性质。可以将分布函数看作是随机变量的概率性质的一个映射，通过CDF可以得到随机变量取值小于某个给定值的概率。

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3. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 请用 F(x)表出以下事件的概率 $\{X>x\},\{X=x\},\{x_1⩽X⩽x_2\}$

1. $1-F(x),F(x)-F(x-0),F(x_2)-F(x_1-0)$

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4. 做一系列独立的试验，每次试验成功的概率为 p，求： （1） n 次试验中成功次数 X 的分布律； （2） 在 n 次成功之前已经失败次数 Y 的分布律； （3） 不断试验至首次成功时试验次数 Z 的分布律。

1. $P(\xi =X)=C_n^x{p}^x(1-p{)}^{n-x},x=0,1,2,\cdots ,n$
2. $P(\xi =Y)=C_{n-1}^y{p}^{n-y}(1-p{)}^y$
3. $P\{\xi =Z\}=p(1-p{)}^{z-1},z=1,2,\cdots$

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5. 一批产品共有 25 件，其中 5 件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取 4次，设 X 为其中的次品数，若 （1） 每次取出的产品仍放回； （2） 每次取出的产品不再放回。 写出两种情况下 X 的分布律。

1. 满足二项分布，$P(X=k)=C_4^k(\frac{1}{5}{)}^k(\frac{4}{5}{)}^{4-k},k=0,1,2,3$
2. 满足超几何分布，$\begin{array}{rl}& P\{X=m\}=\frac{C_5^m{C}_{20}^{4-m}}{C_{25}^4},\\ & m=0,1,2,3,4\end{array}$

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6. 某公司有400台计算机, 在一天中任一台报修的概率是0.01. 请给出一天中报修台数 X 的分布律, 并计算报修不超过 3 台计算机的概率.

$P(X=k)=C_{400}^{k}0.01^{k}0.99^{400-k}$

$\sum _{k=0}^{3}P(X=k)\approx 0.4325$

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7.设每天到达炼油厂的油船数服从 λ=2 的泊松分布. 现港口有三台设备, 一天内一台设备只能为一条油船服务, 若一天中有多于三艘油船到达, 多余的油船必需调往其他港口. 求: (1) 某天必需调离油船的概率. (2) 为在 90%的日子里能容许安排所有的油船,现有设备应增设至几台? (3) 每天最可能到达的油船数是几艘?并给出其概率

1. $P(\xi =k)=\frac{2^k}{k!}{e}^{-2},k=1,2,\cdots ,n$ $P=1-\sum _{k=0}^{3}P(\xi =k)\approx 0.142877$

2. 查询泊松分布表可知，$P(\xi ⩽4)>90\%$, 所以只需要增设到4台即可。

3. 查询泊松分布表可知，$P(\xi =2)=P(\xi =1)\approx 0.27067$ ，所以每天最有可能到达的船应该是1或者2艘

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8. 二项分布和泊松分布有什么关系, 你认为现实中哪类随机变量可以用泊松分布描述, 请举出实例

泊松分布可以认为是二项分布在时间上的极限表示。可以用生活中经常经历但是出现概率极小的事件。比如一架飞机每天都在成都和广州之间来往2次，求一年中该飞机因为极端天气情况而导致航班取消的次数。

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9. 设 $\mathbf{X}$ 的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{rl}Ax{e}^{-x^2},& 0<x<3\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$ 试求: (1)系数 A; (2)分布函数 $F(x)$; (3) 概率 $P\{X>1\}$.

${\int }_0^{3}f(x)=1\Rightarrow \frac{A}{-2}{e}^{-x^2}{|}_0^3=\frac{A}{2}(1-e^{-9})=1$ $A=\frac{2}{1-e^{-9}}$

2. $\begin{array}{r}F(x)={\int }_0^{x}f(x)+C=\frac{e^{9-x^2}}{1-e^9}+C\\ F(0)=0\Rightarrow C=\frac{e^9}{e^9-1}\\ \Rightarrow F(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{e^{9-x^2}}{1-e^9}+\frac{e^9}{e^9-1}& x\in [1,3]\\ & 1,& x⩾3\\ & 0,& x\in \text{其他}\end{array}\end{array},$
3. $P(X>1)=1-F(1)=\frac{e^9}{e^9-1}(1-e^{-1})$

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10. 设 $f_l(x),f_2(x)$ 为两个概率密度函数, 问下列函数是否概率密度函数, 并说 出理由。 (1) $f_1(x)+f_2(x)$; (2) $f_1(x)f_2(x)$;（3） $f_1(x)F_2(x)+F_1(x)f_2(x)$ 这里 $F_l(x)$ 为 $f_I(x)$ 对应的分布函数, $F_2(x)$ 为 $f_2(x)$ 对应的分布函数。

1. 不是，对其进行积分后结果为2，不满足CDF的归一性。
2. 可能是，比如当$f_1(x),f_2(x)$ 都是高斯分布对应的概率密度函数时，他们的积依旧是概率密度函数；而其他情况的概率密度函数，他们之积的函数的积分可能就不是1，不满足CDF的归一性.假设$f_1(x)=e^{-x}$，$f_2(x)=2e^{-2x}$，则$f(x)=f_1(x)f_2(x)=2e^{-3x}$。显然，$f(x)$不满足概率密度函数的两个条件：即在定义域内非负且积分为1。因此，$f(x)$不是概率密度函数。
3. 是。$F(x)=F_1(x)F_2(x),F^{\prime }(x)=f_1(x)F_2(x)+F_1(x)f_2(x),F(\infty )=1$ 满足CDF的性质。

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11. 在长为 L 的线段上随机选取一点，将其分为两段，求短的一段与长的一段之比小于 1/4 的概率？

取 $k\in (0,L)$, 则 $P(\text{短边与长边之比})=\{\begin{array}{rl}\frac{k}{L-k},& k<\frac{L}{2}\\ 1,& k=\frac{L}{2}\\ \frac{L-k}{k},& k>\frac{L}{2}\end{array}$ 满足一维均匀分布，计算得到$P=\frac{2}{5}$

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12. 设测量误差$X\sim N(0,10^2)$，求在 100 次独立重复测量中至少有 3 次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率.

根据正态分布的规律：$P\{0<\xi <19.6\}=\Phi (\frac{19.6-0}{10})-\Phi (0)=0.475$

$P(\text{单次测量误差的绝对值大于19.6})=1-2\cdot P(\{0<\xi <19.6\})=0.05$

因为 $n=100,np=0.05$，所以直接使用二项分布计算而不是泊松分布计算。

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13. 设某电子元件寿命 X（小时）服从参数为$\lambda$的指数分布。若要求该元件寿命在 1200 小时以上的概率达到 0.96 (1)求$\lambda$ 的最大取值（$\lambda$ 称为该元件的失效率）； (2) 若一个该种元件已使用 300 小时，求它能用到 900 小时以上的概率

${\int }_{1200}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx⩾0.96\Rightarrow \lambda ⪅0.0000340183$ $\lambda$ 的最大取值约为 $0.0000340183$ 2. $p(\xi >900|\xi >300)=P(\xi >900-300)=P(\xi >600)={\int }_{600}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}=e^{-600\lambda }$

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14. 取值连续的随机变量就是连续型随机变量吗？若是，请证明；若不是，请举反例。

不完全正确。取值连续的随机变量不一定是连续型随机变量。

连续型随机变量是指其取值范围为连续的实数集合，并且其概率密度函数存在。也就是说，对于一个连续型随机变量，可以使用概率密度函数来描述其概率分布。

而取值连续的随机变量只是指其取值可以为任意实数，而不限于整数或有限个实数。这个概念并不涉及其概率密度函数是否存在。比如，一个随机变量的取值为所有实数的平方，虽然其取值是连续的，但是其概率密度函数不存在，因此它并不是连续型随机变量。