量子力学入门-第一章 早期量子理论

早期量子理论

量子物理理论起源于对波粒二象性的认识，本章着重说明波粒二象性的发现过程，以及第一个基于量子假设的原子模型——玻尔的原子模型

黑体辐射

加热一块铁块，随着温度的升高，它的颜色从 暗红、赤红、橙色最后变成黄白色。前面我们知道，在任何温度下，物体都向外发射各种频率的电磁波。不同的温度下所发出的各种电磁波的能量按频率有不同的分布，所以才表现为不同的颜色。这种电磁辐射就叫 热辐射 。

在研究热辐射中一个很重要的假设模型便是 黑体， 它是一个能完全吸收照射到它上面的各种频率的光的理想物体。在现实生活中为了达到类似效果，就用材料制作成一个空腔，在腔壁上开一个小洞，让入射电磁波从洞里进去。这样电磁波在空腔里面不断反射直到电磁波能量耗尽，可以近似认为这就是一个黑体。

黑体的实验曲线

在黑体的实验曲线中，有很多根据已有定理推导出的理论曲线如 Wien’s law, Rayleigh-Jeans’ law 都无法与实验曲线完整的契合，不是在在短波长上的区域都出现了严重的偏差，这就是著名的 紫外灾难。

普朗克则从实验曲线出发，得到了一个完全拟合的经验公式—— 普朗克公式

$$M_{\nu }=\frac{2\pi h}{c^2}\frac{{\nu }^3}{{\mathrm{e}}^{h/kT}-1}$$

这一公式在全部的频率范围内都和实验值符合。

为了给这个公式一个完整的物理解释，普朗克“不惜一切代价地” 提出了 能量量子化 的概念。他大胆假设能量子具有的能量不是连续的，而是只能取一些离散的值。以 $E$ 表示一个频率为 $v$ 的谐振子的能量，普朗克假定：

$$E=nhv,n=0,1,2\cdots$$

其中 $h$ 是一个常量，也就是我们后面称的 普朗克常量， 它的现代最优值为：

$$h=\mathrm{6.6.260755}\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$$

这是物理学史上首次提出量子的概念，普朗克也因为这一革命性概念的提出而获得了1918年的诺贝尔物理学奖。

光电效应 & 光子

光电效应 是指当光照射到金属表面时，电子会从金属表面逸出的现象。 （这里很多高中物理已经介绍过，就讲下重点）

光电效应装置与关系曲线

实验发现当入射光频率和光强一定时，光电流随着加速电压的增加而增加，直到达到一个饱和值。这一现象说明单位时间逸出的光电子已经全部被阳极接收了。同时实验表明饱和电流的值与光强的大小成正比。这又说明单位时间内逸出的光电子数与光强成正比。

当加速电压反向减少到零甚至为负值时，电流并不为零，直到电压达到 截止电压 $U_c$ 。这说明当电压达到截止电压时，从阴极逸出的速度最快的光电子由于受到电场的阻碍而不能到达阳极。能量分析有光电子逸出时的最大动能和截止电压的关系为：

$$\frac{1}{2}m{v}_m^2=e{U}_c$$

其中 $m$ 和 $e$ 分别是电子的质量和电量， $v_m$ 是光电子逸出金属表面时的最大速度。

此外，如果入射光的频率 小于 红限频率， 那么就不会产生光电效应。

以上这些实验结论无法使用经典物理学解释。

后面爱因斯坦注意到了普朗克的量子理论，并将其量子的概念引入到用于解释光电效应中，发现理论和实验都能符合，于是有了1905年的那篇因为解释了光电效应而获得诺贝尔奖的论文。

在论文中首次提出的光的能量子单元在1926年被刘易斯定名为 光子 photon。

关于一个频率为 $v$ 的光子的能量，爱因斯坦定为：

$$E=hv$$

以 $W_0$ 表示一个电子从金属表面逸出时克服阻力所需要做的 逸出功 ，那么根据能量守恒有：

$$\frac{1}{2}m{v}_m^2=hv-W_0$$

这就是 光电效应方程 。

饱和电流和光强的关系可以作如下简单解释：入射光强越大，表示单位时间内入射到金属表面的光子越多，因而产生的光电子越多，导致了饱和光电流的增大。

光子为什么静止质量为零的解释

康普顿效应

康普顿以及吴有训研究 $X$ 射线通过物质时向各方向散射的现象。他们发现，在散射的 $X$ 射线中，除了有波长与原射线相同的成分外，还有波长较长的成分。这种由波长改变的散射称为 康普顿效应 。

Compton effect

实验得到的曲线来看，有以下几个实验结果无法使用经典的 电磁波理论解释：

1. 除了入射波 ${\lambda }_0$ 外，还有另外一个波峰 $\lambda$ 且波长更长。
2. 波长差 ${\Delta }_{\lambda }={\lambda }_0-\lambda$ 与散射角成正比。

但是这种结果可以使用光子理论加以圆满的解释： 固体中有许多相对自由的电子，这些电子的能量与入射光子的能量可以忽略不计，因此可以看作是静止的。一个电子的静止能量为 $m_0{c}^2$ ，动量为零。设入射光的频率为 $v_0$ ，光子的能量和动量分别为 $h{v}_0$ ，$\frac{hv}{c}\overrightarrow{e_0}$ ,散射角为 $\phi$ 。 弹性碰撞后电子的能量变为 $m{c}^2$ ，动量变为 $mv$ ；散射光子的能量为 $hv$ ，动量为 $\frac{hv}{c}\overrightarrow{e_1}$ 。能量和动量守恒以及考虑相对论效应 $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ . 最后解得 康普顿散射公式 :

$$\Delta \lambda =\lambda -{\lambda }_0=\frac{h}{m_{0}c}(1-\cos \phi )$$

还有 康普顿波长：

$${\lambda }_c=\frac{h}{m_{0}c}=2.43\times 10^{-12}\mathrm{m}$$

算例

X-ray scattering

波粒二象性

德布罗意在光的二象性下启发：自然界中很多都是对称的，既然光子有二象性，那么其他的实物粒子也应该有二象性。

于是他把光子的公式借来，假设出一个粒子的波长应该和它的动量有如下关系：

$$\lambda =\frac{h}{p}$$

德布罗意是采用类比的方法提出他的假设，当时没有任何实验证据支持他这个假设。但是事实上，不久后他的假设就被得到了实验的支持，他也凭借这一篇博士毕业论文获得了诺贝尔奖，可以说是史上含金量最高的学位论文了🫡。

那么德布罗意提出的波具有什么具体的物理意义呢？当前得到公认的解释是 玻恩（M.Born） 提出的。认为物质波描述了粒子在各处被发现的概率。也就是说 德布罗意波是概率波。而后这个解释经受了双缝干涉实验的考验，证实了这个解释的正确性。 后面量子力学中使用 波函数 $\Psi$ 定量描述微观粒子的状态。波函数是时间和空间的函数，并且是复函数，$\Psi =\Psi (x,y,z,t)$ 。而 $|\Psi {|}^2$ 是粒子的 概率密度 因而 $\Psi$ 还有个名称叫 概率幅 。概率幅具有叠加性，同一粒子的同时几个概率幅的叠加出现干涉现象。即：

$${\Psi }_{12}={\Psi }_1+{\Psi }_2$$

相应的概率分布为

$$P_{12}={\left|{\Psi }_{12}\right|}^2={\left|{\Psi }_1+{\Psi }_2\right|}^2$$

这里最后的结果就会出现 ${\Psi }_1$ 和 ${\Psi }_2$ 的交叉项。正是这交叉项给出了两缝之间的干涉效果,使双缝同开和两缝依次单开的两种条件下的衍射图样不同。

不确定性关系

在牛顿力学中使用位置和动量描述一个质点在任一时刻的运动状态。但是对于实际的粒子则不然，对于它的波动性，需要使用概率波描述；对于它的粒子性，需要使用位置和动量来描述；而概率波之能给出概率，所以粒子在任一时刻都不具有确定的位置，因而也就没有确切的动量。

量子力学理论证明，粒子在某一方向上的位置不确定量 $\Delta x$ 和动量不确定量 $\Delta p$ 有一个 不确定性关系 ： $\Delta x\Delta p\ge \hslash =\frac{h}{2\pi }=1.055\times 10^{-34}\mathrm{m}$ 用该公式还可以继续推导出其他形式的不确定公式：

$$\begin{array}{rl}& (\Delta E)(\Delta t)\ge \hslash =\frac{h}{2\pi }\\ & \left(\Delta L_z\right)(\Delta \varphi )\ge \hslash =\frac{h}{2\pi }\end{array}$$

现在这里不同的教材书中对这个等式右边的值有所争议，这里取的是海森堡论文里的值 $\frac{h}{2\pi }$ ，而现代教材书里使用的大多数是 $\frac{\hslash }{2}$

附：另一份笔记里的推导过程 除了坐标和动量的不确定关系外,对粒子的行为说明还常用到能量和时间的不确定关系。考虑一个粒子在一段时间 $\Delta t$ 内的动量为 $p$, 能量为 $E$ 。根据相对论, 有 $p^2{c}^2=E^2-m_0^2{c}^4$

而其动量的不确定量为

$$\Delta p=\Delta \left(\frac{1}{c}\sqrt{E^2-m_0^2{c}^4}\right)=\frac{E}{c^{2}p}\Delta E$$

在 $\Delta t$ 时间内, 粒子可能发生的位移为 $v\Delta t=\frac{p}{m}\Delta t$ 。这位移也就是在这段时间内粒子的位置坐标不确定度, 即

$$\Delta x=\frac{p}{m}\Delta t$$

将上两式相乘,得

$$\Delta x\Delta p=\frac{E}{m{c}^2}\Delta E\Delta t$$

由于 $E=m{c}^2$,再根据不确定关系式，就可得

$$\Delta E\Delta t⩾\frac{\hslash }{2}$$

这就是关于能量和时间的不确定关系。

此外，也有角动量与角度的不确定关系$\Delta L\Delta \varphi ⩾\frac{\hslash }{2}$

---

参考资料

教材部分来自¹ ，PPT截图部分来自² .

Footnotes

1. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

2. 吴昊. Physics II. 课程PPT ↩