洛伦兹力&安培力

当把通电导线放置到磁场中，会发现导线似乎受到了一股力的作用，产生了形变，这种磁场对宏观物体的作用其实是磁力，也就是微观下的 洛伦兹力 在宏观下的表现 安培力 。后面我们会发现，洛伦兹力和安培力其实都是磁力的体现。它们分别是在不同场景下的称呼。

下面我们从宏观的安培力出发，推导出微观的洛伦兹力

安培力

导线中的电流是由其中的载流子定向移动形成的，当把载流子导线置于磁场中，这些运动的载流子就要受到洛伦兹力的作用，结果在宏观上表现为载流导线受到磁力的作用。

实验中得到安培力公式满足如下关系：

F = I l \times B

其中 $l$ 是导线在磁场中的长度。对于非匀强磁场和弯曲导线当然还有对应的积分表达式：

F = \int_{l} I d l \times B

$d l$ 是该导线的微分长度。 $B$ 是各电流元所处的 local $B$

这里值得注意的是，在匀强磁场中 $l$ 的长度是导线在磁场中的长度，对于在匀强磁场中的一段弯曲导线，我们可以连接起点和终点作为它的 “等效长度” 。下面举例说明：

载流导线受磁力

Ampere's force on a ring

我们从一个简单矩形载流线圈推导磁矩。

Torque on a current loop

定义磁矩 : $μ = I S$ 。方向与电流的流向符合右手螺旋关系）

这样我们就得到了磁力矩表达式：

τ = μ \times B compare with {p = Q l τ = p \times E

非匀强磁场中，载流线圈除了受到磁力矩作用外，还有磁力的作用，因为其情况过于复杂，我们这里不作进一步讨论。

前面说到，载流子受到的磁力在宏观表现为导线的受力，利用公式 $I = n qS v$ 可以推导出微观下载流子所受到的磁力——洛伦兹力

d F_{A} = I d l \times B = n qS v d l \times B = n q v d V \times B = d Nq v \times B

可以看到最终的表达式为：

F_{L} = q v \times B

载流导体+外加磁场，导致电子在窄条的底部聚集，同时在顶部也会有多余的正电荷，这些多余的正负电荷会在导体内部产生横向电场 $E_{H}$ 。随着电荷的堆积，电场强度不断增大，直到该电场力与磁场对电子的作用力相平衡，此时电子恢复原来的水平方向运动而又重新恢复成电流。

根据平衡条件有：

e E_{H} = e v B \Rightarrow E_{H} = v B \Rightarrow U_{H} = E_{H} l = v B h

霍尔效应

这一段是我在上课上没有的，当时就对为什么 $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7}$ 感到奇怪，幸好在教材这里看到了解释，我觉得很有意思，就放在这里了。

真空磁导率的推导

三个常量之间的关系

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教材部分来自¹ ，PPT截图部分来自²，手写笔记截图来自³ 。