电磁学-第八章 麦克斯韦方程与电磁波

麦克斯韦方程组

从前面的学习中我们可以发现，电场和磁场不仅许多性质相似，而且电场和磁场几乎是同时产生的，形影不离。 麦克斯韦就对电场和磁场的这些规律加以总结归纳，得到了一组基本方程，现在称为 麦克斯韦方程组 ：

$$\begin{array}{l}{\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{{\epsilon }_0}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho \mathrm{d}V\\ {\oint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0\\ {\oint }_L\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\\ {\oint }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\mu }_{0}I+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}={\mu }_0{\int }_S\left(\mathbf{J}+{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\end{array}$$

方程 I 是电场的高斯定律, 它说明电场强度和电荷的联系。尽管电场和磁场的变化 也有联系 (如感生电场), 但总的电场和电荷的联系总服从这一高斯定律。

方程 II 是磁通连续定理, 它说明, 目前的电磁场理论认为在自然界中没有单一的“磁 荷”(或磁单极子)存在。

方程 III 是法拉第电磁感应定律, 它说明变化的磁场和电场的联系。虽然电场和电荷 也有联系, 但总的电场和磁场的联系总符合这一规律。

方程 IV 是一般形式下的安培环路定理, 它说明磁场和电流 (即运动的电荷) 以及变化 的电场的联系。

为了求出电磁场对带电粒子的作用从而预言粒子的运动, 还需要洛伦兹力公式

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$$

这一公式实际上是电场 $E$ 和磁场 $B$ 的定义。

在已知电荷和电流分布的情况下，这种方程可以给出电场和磁场的唯一分布。特别是当初始条件给定后，这组方程还能唯一地预言电磁场此后变化的情况。

利用数学上关于矢量运算的定理，上述方程组还可以变化成如下微分形式：

$$\begin{array}{lc}& \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho \\ & \nabla \cdot \mathbf{B}=0\\ & \nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\ & \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\end{array}$$

电磁波的推导

从真空中微分形式的麦克斯韦方程出发，我们对后面两项求旋度，会发现这刚好就是波动方程的三维形式，这就是预言中的电磁波的波动方程。我们将其转换成一维形式，就能推导出电磁波的速度：

电磁波速度推导

将场换成平面简谐波

从平面波的表达式可以看出，电磁波的 $E$ 和 $B$ 是同相的，也就是同时增大和减少；后面对加速电荷的电场和磁场进行分析后会得到 $E\perp B$ ，$E\times B$ 的方向恰好就是电磁波的方向。

电磁波的能量

结合我们前面得到的电场和磁场中具有的能量的表达式，我们得到电磁波的能量表达式；有了能量，自然也能引入能量密度的概念，不过这里我们称其为 能流密度 。

Energy in EM wave

能流密度是矢量，这里的矢量表达式为： $S=\frac{E\times B}{{\mu }_0}$ ，时间平均值 $\bar{S}$ 则是该表达式的一半。

电磁波的动量

由于电磁波具有能量，所以它就具有动量。由于电磁波以光速传播，所以它不可能具有静止质量。所以我们根据能流密度给出电磁波的动量密度：

$$p=\frac{S}{c}$$

对于一个完全反射的表面，垂直入射的电磁波给予该表面的动量将等于入射电磁波的动量的两倍。

A-B效应

这一部分可能就是量子电动力学的入门了，它说明的是：在量子力学中， $E$ 和 $B$ 并不是描述电磁场的基本物理量，而失势 $A$ 和标势 $\phi$ 则给出了直接的物理描述。这也是为什么在量子电动力学的普遍理论中，代替麦克斯韦方程组的是由 $A$ 和 $\phi$ 的另一组方程式。

时间关系我就暂时在这里挖个坑吧，有时间再补上。 （还有10天就要考试啊啊啊啊啊啊啊，我的微积分、理论力学、离散数学、英语文献阅读、数据结构与算法都没动 😭😭感觉要没了捏）

参考资料

教材部分来自¹ ，PPT截图部分来自²， 手写笔记截图来自³ 。

Footnotes

1. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

2. 吴昊. Physics II. 课程PPT ↩

3. 黄咏皓. Physics 课程笔记 ↩