电磁学-第四章 磁场的源

磁力

磁力是运动电荷之间相互作用的表现，为了说明磁力的作用，我们也类似电场中的做法，引入相应概念，最后通过麦克斯韦方程组将电场和磁场统一起来。

磁场与磁感应强度

与电场的 有源无磁 不同，磁场是 有磁无源 。也就是说作为矢量场的磁场不具有梯度，而具有散度或者旋度。（该部分是我暂时想到的，不清楚对不对，如果有错请指出，谢谢！）

一个运动的电荷在它周围除了产生电场以外，还产生磁场。类似于使用电场强度对电场加以描述，我们用 磁感应强度 对磁场加以描述。通常使用 $B$ 作为磁感应强度的符号。

实验中发现，检验电荷 $q$ 所受的磁力 $F$ 的方向总是与此 不受力方向 以及 $q$ 本身的速度 $v$ 的方向垂直，于是一般规定 $B$ 的方向使得 $v\times B$ 正是 $F$ 的方向 。

实验中，不同的大小的 $v$ 和不同的方向 $\alpha$ 测量得到的磁力大小一般不同，而比值 $\frac{F}{qv\sin \alpha 0}$ 是一个定值。根据这一结果，我们给出 $B$ 的矢量定义式：

$$F=qv\times B$$

这个便是 洛伦兹力公式 。有了力，我们便可以根据检验电荷的受力来定义磁感应强度。 磁感应强度的单位为 特斯拉 符号为 $T$ 。

与电场类似，磁场也遵循叠加原理，同样我们也引入与电场线类似的 磁场线 对磁场加以描述说明。这样顺便就有了类比于 电通量的 磁通量 。通过某一面积的磁通量定义为：

$$\Phi ={\int }_{s}B\cdot \mathrm{d}S$$

它就等于通过该面积的磁感线的总条数。

磁通量的单位名称为 韦伯 ， 符号为 $Wb$ 。

Biot-Savart Law

于电生磁的有关实验给出，恒定电流在其周围产生磁场, 其规律的基本形式是电流元产生的磁场和该电流元的关系。以 $I\mathrm{d}\mathbf{l}$ 表示恒定电流的一电流元, 以 $\mathbf{r}$ 表示从此电流元指向某一场点 $P$ 的径矢, 实验给出, 此电流元在 $P$ 点产生的磁场 $\mathrm{d}\mathbf{B}$ 由下式决定:

$$\mathrm{d}\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\mathbf{l}\times \vec{r}}{r^3}$$

这里要注意的是 $B$ 的方向，慎重考虑转变成标量积分。式中

$${\mu }_0=\frac{1}{{\epsilon }_0{c}^2}=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{N}/{\mathrm{A}}^{2\oplus }$$

叫真空磁导率。由于电流元不能孤立地存在, 所以上式不是直接对实验数据的总结。 它是 1820 年首先由毕奥和萨伐尔根据对电流的磁作用的实验结果分析得出的, 现在就叫 毕奥-萨伐尔定律。

电流元的磁场

如果我们将电场中的 高斯定律放进去，就会发现通过任意闭合曲面的磁通量都为零。因为磁场的磁感线也都是圆心在电流元轴线上的同心圆。

磁通连续定理 便是这样的结论：任何磁场中通过任意封闭曲面的磁通量总等于零 。它的数学表达式为：

$${\oint }_s\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0$$

下面是使用 毕奥-萨伐尔定律 求电流的磁场分布。

直线电流的磁场

A straight current

Note: 在直电流所在的直线上对应的磁感应强度为0，因为 $\mathrm{d}\mathbf{B}=0$

圆电流的磁场

Circular current

这里对 $\mathrm{d}\vec{\mathbf{B}}$ 沿着 $x$ 轴和垂直 $x$ 轴分解，电流元 $I\mathrm{d}l$ 所在直径对应另一端的电流元的磁场也同样分解，最后就是$\mathrm{d}{B}_{\perp }$ 相互抵消，最后剩下平行于 $x$ 轴的分量。

对其积分得到图中结果。

闭合通电线圈的磁偶极矩

磁矩|东西有点多，教材写得挺详细的

note： 弧电流的圆心处的 $B$ 对应为 $\%B_{\text{圆环}}$

旋转圆环的磁场

Rotating charged ring

通电螺线管的磁场

该磁场可以通过毕奥-萨伐尔定律求出，也可以使用后面的安培定律求出。

直螺线管的磁感应强度计算图解

设管的长度为 $L$，半径为 $R$ ，单位长度的线圈匝数为 $n$，通有电流 $I$ 。

如图在 $P$ 处选取螺线管上长为 $\mathrm{d}l$ 的一小元段，其中的电流为 $dI=nI\mathrm{d}l$ . 根据圆环上的磁场公式代入，有：

$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_{0}nI{R}^2\mathrm{d}l}{2r^3}$$

而根据几何关系有： $R=r\sin \theta l=R\cot \theta$ 。而 $\mathrm{d}l=\frac{-R}{{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta$
将关系代入可得：

$$\mathrm{d}B=\frac{-{\mu }_{0}nI}{2}\sin \theta \mathrm{d}\theta$$

对 $\theta$ 从 ${\theta }_1\to {\theta }_2$ 积分，得到结果：

$$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1)$$

其对应的函数形式如下：

长直螺线管对应的磁场分布

对于无限长直螺线管内部任一点，该式简化成： $B={\mu }_{0}nI$ ，而端口处的轴心点则为: $B=\frac{1}{2}{\mu }_{0}nI$

匀速运动电荷的磁场

电流是由运动电荷组成的，所以可以从电流元的磁场公式中导出匀速运动电荷的磁场公式。对于微观电荷：$I=nqSv$ ，一个电流元内有 $nS\mathrm{d}l$ 个载流子，所以每个载流子对应在 $P$ 点产生的磁场为：

$${\mathbf{B}}_1=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{nqSv\mathrm{d}\mathbf{l}\times \vec{r}}{r^3}/nS\mathrm{d}l$$

由于 $v$ 和 $\mathrm{d}l$ 方向相同, 所以 $v\mathrm{d}l=\mathbf{v}\mathrm{d}l$, 因而有

$${\mathbf{B}}_1=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{qv\times \vec{r}}{r^3}$$

由式 (17.20) 可知 ${\mathbf{B}}_1$ 的方向总垂直于 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{r}$, 其大小为

$$B_1=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{qv\sin \theta }{r^2}$$

安培环路定理

安培环路定理 表述为：在恒定电流的磁场中,磁感应强度$B$沿任何闭合路径$C$的线积分(即环路积分)等于路径$C$所包围的电流强度的代数和的${\mu }_0$倍 。即

$${\oint }_{c}B\cdot \mathrm{d}r={\mu }_0\sum I_{in}$$

对该公式的简单证明

要理解闭合路径 C 包围的电流的含义

这里利用 stokes 公式还可以得到环路定理的旋度表达式： $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{in}\Rightarrow \nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{j}$ 这里 $j=\frac{I}{\pi R^2}$ 为电流密度

圆柱导体的磁场分布

Cylindrical current

环线螺线管的磁场分布

Toroid

推广的安培环路定理

前面所提到的安培环路定理都是适用与在闭合电流回路中的，但是实际生活中，还存在开放式的电流回路，比如含电容器充放电的电路，这时候如果使用前面的安培环路定理，就会发现矛盾： 1. 电流只有单向流动，电流不连续 2. 圈内的电量在变，闭合曲面的通过的电流不对等。 3. 沿同一闭合路径的$B$ 的环路积分不相等

C 环路环绕不闭合电流

以圆饼状 $S_1$ 作为闭合环路面积 和以口袋状 $S_2$ 作为闭合环路面积得到的安培环路定理结果不一样。

麦克斯韦在研究电磁场的规律时，就想把安培环路定理推广到非恒定电流的情况。他发现在比如电容器充电时，两平行板上的电量总是不断变化的，也就是说在电流断开处的电场总是变化的。 于是他尝试假设这电场的变化与磁场相联系，得到这种联系下的定量关系为：

$${\oint }_C\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}{\Phi }_E}{\mathrm{d}t}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

其中 $S$ 是以闭合路径 $C$ 为边线的任意形状的曲面。此式说明和变化电场相联系的磁场沿闭合路径的环路积分等于以该路径为边线的任意曲面的电通量 ${\Phi }_E$ 的变化率的 ${\mu }_0{\epsilon }_0$ 倍。

结合闭合回路的安培环路定理，如果一个面上有传导电流 $I_c$ 通过同时还有变化的电场存在，则沿此面的边线 $L$ 的磁场的环路积分表示为：

$$\begin{array}{rl}{\oint }_L\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{l}& ={\mu }_0(I_c+I_D{)}_{in}\\ & ={\mu }_0{I}_{c,in}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\mathrm{d}{\Phi }_E}{\mathrm{d}t}\\ & ={\mu }_0{\int }_s\left(J_c+{\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}S\end{array}$$

这一公式称作 推广的安培环路定理 ，这是电磁学的一条基本定律。

第二个等号的第二项中也具有电流的量纲，麦克斯韦将其称作 位移电流 ，并以 $I_D$ 表示。相应的位移电流密度则直接和电场的变化联系：$J_D=\frac{I_D}{S}={\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t}$ 将 $(I_c+I_D)$ 称作全电流

使用推广的安培环路定理计算磁场强度

Charging capacitor

参考资料

教材部分来自¹ ，PPT截图部分来自²， 手写笔记截图来自³ 。

Footnotes

1. 张三慧. 大学物理学（第三版） 电磁学. 清华大学出版社, 2008. ↩

2. 吴昊. Physics II. 课程PPT ↩

3. 黄咏皓. Physics 课程笔记 ↩