概率论与数理统计-期末复习指导

1 随机事件与概率

事件的关系及运算

事件的集合表示、运算、及其概率含义：

• 区分：不可能事件、概率为 0 事件、小概率事件

概率的定义及其性质

概率空间三要素：

条件概率及三个公式

• 乘法公式
• 全概率公式
• 贝叶斯公式

掌握事件假设、公式书写、概率计算的完整过程（事件法）

事件法求解问题

事件的独立性

判断独立性+概率计算

区分：事件的相互独立、两两独立、互不相容 计算：积事件、和事件的概率计算

判断独立性+概率计算

与随机变量的独立性区分开。

2 随机变量及其分布函数

随机变量的定义

解题中对于随机变量的定义说明以及书写格式。

随机变量说明的书写过程

各种概率分布的描述方法

1. 下面三种的定义、含义、性质
2. 分布函数与分布律的相互转换
3. 分布函数与概率密度的相互转换

分布函数

分布律

概率密度

各种常见分布

连续型

均匀分布

指数分布

正态分布

离散型

0-1 分布

二项分布

泊松分布

几何分布

超几何分布

负二项分布

计算随机变量落在区间（域）的概率

掌握一般型、离散型、连续型的计算

某点的概率： $P(\xi =\alpha )?$

3 多维随机变量

二维随机变量及其分布

描述工具

一般型：联合分布函数

离散型：联合分布律

连续型：联合概率密度函数

常见二维分布及其对应的概率模型

二维均匀分布

二维正态分布

利用二维随机变量的分布计算概率

掌握一般型、离散型、连续型的计算

离散型

连续型

联合分布、边缘分布、条件分布的关系和转换

重点掌握三者直接的转换

三者关系的关系

随机变量函数的分布

二项分布具有可加性 泊松分布具有可加性 负二项分布具有可加性 几何分布加起来就是特殊的负二项分布

利用已有公式

和的分布

分布函数法

一维：

$$\begin{array}{rl}& Y=g(X),F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}={\int }_{g(x)\le y}{f}_X(x)dx\\ & ⟹f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)\end{array}$$

二维：

$$\begin{array}{rl}& Z=G(X,Y),F_Z(z)=P\{G(X,Y)\le z\}=\underset{a(x,y)\times z}{\iint }f(x,y)dxdy\\ & ⟹f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)\end{array}$$

随机变量的独立性

连续型、离散型随机变量相互独立成立的等价条件

变量相互独立的判定、含义及其应用

离散型随机变量的独立性判定

连续型随机变量的独立性判定

4 随机变量的数字特征

相关数字特征含义：

• 期望：随机变量取值的平均值（集中点） +
• 方差：随机变量取值相对其期望的偏离程度 +
• 相关系数：两个随机变量间的线性相关程度 +

注意：期望和方差在各种实际问题中的具体含义及应用

数字特征的求法

数学期望

利用已知分布的数学期望

常见分布的数学期望：

定义法

直接使用定义公式

其它方法

1. 期望的性质
2. 特征函数、矩函数
3. 随机变量函数的期望公式
   • $\begin{array}{rl}& \eta =g(\xi ),E(\eta )=E[\mathbf{g}(\xi )]={\int }_{-\infty }^{+\infty }\mathbf{g}(\mathbf{x})d{F}_{\xi }(\mathbf{x})\\ & \zeta =G(\xi ,\eta ),E(\zeta )=E[G(\xi ,\eta )]={\iint }_{{\kappa }^2}G(x,y)dF(x,y)\end{array}$

方差的求法

1. 用定义公式或常用公式结合函数期望公式
   1. $D(\xi )=Cov(\xi ,\xi )$
   2. $D(\xi \pm \eta )=D(\xi )+D(\eta )\pm 2Cov(\xi ,\eta )$
2. 用方差的性质（特别是和的性质）

协方差的求法

1. 用定义公式或常用公式结合函数期望公式
2. 用协方差的性质（特别是关于和的分配性质）

条件数学期望

掌握：根据变量分布求条件数学期望，用全数学期望公式解决问题。

多维正态分布的性质

• 正态随机变量的线性变换不变性
• 正态分布的可加性
• 多维正态分布相互独立等价于两两不相关（不需记二维及以上正态分布的特征函数和密度函数）

例题

5 特征函数

特征函数的定义及其计算

使用定义计算随机变量的特征函数。

常见分布的特征函数

常见分布的特征函数

特征函数的相关应用

• 计算随机变量的矩
• 反演分布律，概率密度
• 求随机变量（序列）的（极限））分布（逆极限定理）
• 求独立(同分布)随机变量和的分布

6 极限定理

切比雪夫不等式

使用不等式估算概率。

使用不等式估算概率

大数定律

1. 理解随机变量序列服从大数定律的含义
2. 会根据各大数定律的条件判断一个给定的随机变量序列是否服从大数定律
3. 能用切比雪夫不等式证明随机变量序列服从弱大数定律

依概率收敛

如果一个随机变量序列 $\{{\xi }_k\}$ 的数学期望 $\{E({\xi }_k)\}$ 存在，若 $\forall \epsilon >0,s.t.$ :

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k-E(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k)|<\epsilon \}=1$$

称随机变量序列 $\{{\xi }_k\}$ 服从大数定律。

• 含义： $\{{\xi }_k\}$ 前 $n$ 项的算术平均紧密地聚集在其数学期望附近。

针对不同的分布和条件，有如下的大数定律：

$$\left[\begin{array}{ccc}切比雪夫不等式& ⟶& 马尔科夫大数定律\\ \downarrow & \swarrow & \\ 切比雪夫大数定律& & 辛钦大数定律\\ \downarrow & \searrow & \downarrow \\ 泊松大数定律& & 独立同分布大数定律\\ \downarrow & \swarrow & \\ 伯努利大数定律& ⟶& 小概率事件原理\end{array}\right]$$

• 伯努利大数定律：重复独立实验中的两点分布的大数定律
• 独立同分布大数定律：伯努利大数定律的推广，不要求两点分布，只需要独立同分布，且数学期望和方差存在即可。
• 辛钦大数定律：独立同分布大数定律的推广，只需要数学期望存在即可。
• 切比雪夫大数定律：独立同分布大数定律的推广，不要求同分布，只要求每个独立分布的期望和方差存在。
• 马尔科夫大数定律： 切比雪夫大数定律的推广。以上大数定律都要求随机变量序列的独立性，而马尔科夫大数定律只需要： $\frac{1}{n^2}D\left({\sum }_{k=1}^n{\xi }_k\right)\to 0$ 即可有大数定律成立。

中心极限定理（依分布收敛）

1. 判断正态分布
2. 会用中心极限定理近似计算概率，
3. 掌握大数定律和中心极限定理在实际中的应用

标准化随机变量

7 数理统计的基本概念

基本概念

总体、样本（观测值）、统计量（值）顺序统计量、经验分布函数(不考)

三种分布

${\chi }^2$ 分布、 $t$ 分布、 $F$ 分布统计量的构造

容易漏掉独立性的条件

${\chi }^2$ 分布

$t$ 分布

$F$ 分布

确定统计量的分布

样本方差

$S^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n({\xi }_i-\overline{\xi }{)}^2$

修正样本方差

$S^{\ast 2}=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n({\xi }_i-\overline{\xi }{)}^2$

统计量

$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n({\xi }_i-E(\xi ){)}^2$

样题

8 参数估计

点估计

矩估计

极大似然估计

估计量的优良性准则

• 无偏性：估计量对参数真实值没有系统误差
• 有效性：建立在无偏性的基础上。估计量相对参数的真实值偏离程度（估计量的方差）越小越好
• 相合性：估计量随样本容量趋于无穷时依概率（以概率 1）收敛到参数的真实值
  • 理解为：样本数量足够大时，估计量稳定于真实值

重点：依据以上三个准则对估计量进行优良性判断

优效性不考

区间估计

正态总体：枢轴变量法

正确理解置信区间的含义

非正态总体

精确分布或大样本方法(不考）

9 假设检验

参数的假设检验

依据：小概率事件原理 发生概率很小的事件。在一次试验中几乎是不可能发生的。从而在实际中可看成不可能事件。 考察：提出统计假设，根据小概率事件原理对其进行检验，（带有概率性质的反证法） 两类错误：两类错误：弃真、纳伪（犯错原因及概率）

假设检验的两类错误

分布和独立性的假设检验

不考

10 回归分析

不考😘