概率论第九章-假设检验

九 假设检验

9.1 假设检验的基本概念

根据长期经验和资料分析，某厂生产的砖的“抗断强度”$X$服从正态分布$N(\mu ,1.1^2)$，从该厂生产的一批砖中随机抽取6块，测得抗断强度$(kg/c{m}^2)$为：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03，请问可否认为这批砖的平均抗断强度为${\mu }_0=32.50$?

• 引出假设检验的基本概念：

上面的问题就是要检验：

$${\mathrm{H}}_0:\mu ={\mu }_0=32.50,{\mathrm{H}}_1:\mu \ne {\mu }_0$$

其中${\mathrm{H}}_0$称为原假设或零假设，${\mathrm{H}}_1$称为备择假设或对立假设

• 以上述问题为例说明假设检验的具体过程

• 首先考虑$\mu$的估计，由辛钦大数定律：样本均值$\bar{X}$依概率收敛到总体均值$\mu$，并且估计理论：$\bar{X}$是$\mu$的无偏估计

• 那么，如果${\mathrm{H}}_0$成立，那么样本均值$\bar{X}$与${\mu }_0$的差距应该不会太大，即$|\bar{X}-{\mu }_0|$较小，也就是$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$较小；反之，当${\mathrm{H}}_1$成立时，$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$较大

因此可以适当选取一个正数$k$作为临界点，当$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}⩾k$时，拒接假设${\mathrm{H}}_0$，反之，当$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}<k$时，接收假设${\mathrm{H}}_0$

• 我们假设${\mathrm{H}}_0$为真，构造统计量

$$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

给定一个小概率$\alpha$(称为显著性水平)，在${\mathrm{H}}_0$成立的前提下有

$$P(|Z|⩾k)=P(|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|⩾k)=\alpha$$

由分位点的知识可以知道$k=u_{\frac{\alpha }{2}}$

• 由于$\alpha$是一个小概率，所以$|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|⩾u_{\frac{\alpha }{2}}$是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生，

当样本观察值$\bar{x}$满足$|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|⩾u_{\frac{\alpha }{2}}$时，小概率事件发生，故拒绝假设${\mathrm{H}}_0$；反之，接受假设${\mathrm{H}}_0$

• 假设检验的基本步骤
  1. 根据问题提出原假设 ${\mathrm{H}}_0$ 和对立假设 ${\mathrm{H}}_1$
  2. 构造一个合适的统计量，并在 ${\mathrm{H}}_0$ 成立的条件下推导出该统计量的分布
  3. 给出小概率 $\alpha$ ，确定临界值和拒绝域
  4. 由样本算出统计量的观察值，若落在拒绝域，则拒绝 ${\mathrm{H}}_0$ ，反之接受 ${\mathrm{H}}_0$
• 其中例子中的$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$称为检验统计量，$W=\{|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|⩾u_{\frac{\alpha }{2}}\}$称为拒绝域，$W=\{|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|<u_{\frac{\alpha }{2}}\}$称为接受域
• 我们上面例子中的检验法使用了正态统计量及其符号$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$，故称为$Z$检验法

假设检验的两类错误

• 弃真错误（第一类错误）：原假设${\mathrm{H}}_0$正确，但由于统计量的值落在了拒绝域，所以拒绝了原假设

• 显然第一类错误发生的概率就是上面提到的“小概率事件”，可以理解成 假设是对的，但是抽到的样本碰巧出了问题

$$P(拒绝{\mathrm{H}}_0|{\mathrm{H}}_0\mathrm{为真})=\mathrm{P}(\mathrm{U}\in W|{\mathrm{H}}_0\mathrm{为真})=\alpha$$

• 存伪错误（第二类错误）：原假设${\mathrm{H}}_0$错误，但由于统计量的值落在了接受域，所以接受了原假设

• 第二类错误一般记做$\beta$

$$P(接受{\mathrm{H}}_0|{\mathrm{H}}_1\mathrm{为真})=\mathrm{P}(\mathrm{U}\notin W|{\mathrm{H}}_1\mathrm{为真})=\beta$$

检验的类型

• 双边检验：对立假设分居原假设的两边，即形如

$$\begin{gathered} {\mathrm{H}}_0:\mu ={\mu }_0, \\ {\mathrm{H}}_1:\mu \ne {\mu }_0 \end{gathered}$$

• 左边检验

$$\begin{gathered} {\mathrm{H}}_0:\mu ⩾{\mu }_0, \\ {\mathrm{H}}_1:\mu <{\mu }_0 \end{gathered}$$

• 右边检验

$$\begin{gathered} {\mathrm{H}}_0:\mu ⩽{\mu }_0, \\ {\mathrm{H}}_1:\mu >{\mu }_0 \end{gathered}$$

第一类错误概率 $\alpha$ 即为初始设定的很小的概率，称为置信水平，称该检验时显著性水平为 $\alpha$ 的显著性检验，简称水平为 $\alpha$ 的检验。为了尽量减少两类错误，可简单的将其简化为减小第一类错误概率（第二类错误概率难求）。常用的 $\alpha =0.05$ ,有时也选择0.1或0.01

9.2 正态总体参数的检验

单个正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 均值 $\mu$ 的检验

${\sigma }^2$ 已知： $u$ 检验

• 双边检验${\mathrm{H}}_0:\mu ={\mu }_0,{\mathrm{H}}_1:\mu \ne {\mu }_0$

原假设成立时： $U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

拒绝域为$\{|U|⩾u_{\frac{\alpha }{2}}\}$

• 右边 ${\mathrm{H}}_0:\mu ⩽{\mu }_0,{\mathrm{H}}_1:\mu >{\mu }_0$ ，拒绝域为 $\{U⩾u_{\alpha }\}$

• 左边 ${\mathrm{H}}_0:\mu ⩾{\mu }_0,{\mathrm{H}}_1:\mu <{\mu }_0$ ，拒绝域为 $\{U⩽-u_{\alpha }\}$

${\sigma }^2$ 未知： $t$ 检验法

• 与 $u$ 检验法的步骤大致相同，不同之处在于此时正态总体的方差 ${\sigma }^2$ 未知，要用 ${\sigma }^2$ 的无偏估计 $S^{\ast 2}$ 代替，所以检验统计量服从的分布于 $Z$ 的不同，拒绝域的临界点也不一样

$$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S^{\ast }/\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n-1}}\sim t(n-1)$$

• 对双边检验 ${\mathrm{H}}_0:\mu ={\mu }_0,{\mathrm{H}}_1:\mu \ne {\mu }_0$ ，拒绝域为 $\{|t|⩾t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\}$

• 右边 ${\mathrm{H}}_0:\mu ⩽{\mu }_0,{\mathrm{H}}_1:\mu >{\mu }_0$ ，拒绝域为 $\{t⩾t_{\alpha }(n-1)\}$

• 右边 ${\mathrm{H}}_0:\mu ⩾{\mu }_0,{\mathrm{H}}_1:\mu <{\mu }_0$ ，拒绝域为 $\{t⩽-t_{\alpha }(n-1)\}$

单个正态总体方差 ${\sigma }^2$ 的假设检验

$\mu$ 未知： ${\chi }^2$ 检验法

• 双边检验${\mathrm{H}}_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,{\mathrm{H}}_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$

原假设成立时： ${\chi }^2=\frac{(n-1)S^{\ast 2}}{{\sigma }_0^2}=\frac{n{S}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

拒绝域为${\chi }^2⩽{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)或{\chi }^2⩾{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)$

• 单边 ${\mathrm{H}}_0:{\sigma }^2⩽{\sigma }_0^2,{\mathrm{H}}_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$ ，拒绝域为 ${\chi }^2⩾{\chi }_{\alpha }^2(n-1)$

• 单边 ${\mathrm{H}}_0:{\sigma }^2⩾{\sigma }_0^2,{\mathrm{H}}_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$ ，拒绝域为 ${\chi }^2⩽{\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)$

$\mu$ 已知： ${\chi }^2$ 检验法

• 双边检验 ${\mathrm{H}}_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,{\mathrm{H}}_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$

原假设成立时： ${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{{\sigma }_0}\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$

拒绝域为 ${\chi }^2⩽{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n)或{\chi }^2⩾{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n)$

双正态总体均值差的假设检验

• $X_1,...,X_{n_1}独立同分布N({\mu }_1,{\sigma }_1^2);Y_1,...,Y_{n_2}独立同分布N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$两样本独立，

• ${\sigma }_1^2和{\sigma }_2^2$已知，

$$U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$$

• ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2但未知$

${\mathrm{H}}_0$下

$$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$$

• 双边检验${\mathrm{H}}_0:{\mu }_1={\mu }_2;{\mathrm{H}}_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$

拒绝域为$|T|⩾t_{\frac{\alpha }{2}}(n_1+n_2-2)$

• 单边 ${\mathrm{H}}_0:{\mu }_1⩽{\mu }_2;{\mathrm{H}}_1:{\mu }_1>{\mu }_2$

拒绝域为$T⩾t_{\alpha }(n_1+n_2-2)$

• 单边 ${\mathrm{H}}_0:{\mu }_1⩾{\mu }_2;{\mathrm{H}}_1:{\mu }_1<{\mu }_2$

拒绝域为$T⩽-t_{\alpha }(n_1+n_2-2)$

双正态总体方差比的假设检验

${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知： $F$ 检验法

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

• 双边检验${\mathrm{H}}_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,{\mathrm{H}}_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$

拒绝域$F⩽F_{1-\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)或F⩾F_{\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)$

• 单边${\mathrm{H}}_0:{\sigma }_1⩽{\sigma }_2,{\mathrm{H}}_1:{\sigma }_1>{\sigma }_2$

拒绝域为$F⩾F_{\alpha }(n_1-1,n_2-1)$

• 单边${\mathrm{H}}_0:{\sigma }_1⩽{\sigma }_2,{\mathrm{H}}_1:{\sigma }_1>{\sigma }_2$

拒绝域为$F⩽F_{1-\alpha }(n_1-1,n_2-1)$