概率论作业-第六章

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设噪声电压 $X_1,X_2,...,X_{100}$ 相互独立且都服从区间 $(0,6)$ 上的均匀分布，用切比雪夫不等式估计总噪声电压 $Y=\sum _{k=1}^{100}{X}_k$ 在 $260$ 到 $340$ 之间的概率。

解

$$\mathbf{E}({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}})=3,\mathbf{D}({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}})=\frac{6^2}{12}=3,\mathbf{E}(\mathbf{Y})=300,\mathbf{D}(\mathbf{Y})=300.$$

由切比雪夫不等式 $P\{|X-E(X)|<ϵ\}\ge 1-\frac{D(X)}{{ϵ}^2}$ :

$$P\{260\le Y\le 340\}=P\{|Y-300|\le 40\}\ge 1-\frac{300}{40^2}=13/16$$

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证明马尔科夫大数定律：若随机变量序列 $\{{\xi }_k\}$ 的期望都存在，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}D\left(\sum _{k=1}^n{X}_k\right)=0$. 则 $\{{\xi }_k\}$ 服从大数定律。

解

记 $X=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{X}_k$ , 由切比雪夫不等式 $P\{|X-\mathbf{E}(X)|\ge ϵ\}<\frac{\mathbf{D}(X)}{{ϵ}^2}$ :

$$\because \underset{n\to \infty }{\lim }\mathbf{D}(X)=\underset{n\to \infty }{\lim }D(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\mathbf{D}(\sum _{k=1}^n{X}_k)=0$$ $$\therefore \underset{n\to \infty }{\lim }P\{|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k-\sum _{k=1}^n{\mu }_k|\ge ϵ\}\le 0.$$ $$\because P(|X-\mathbf{E}(X)|\ge ϵ)\ge 0$$ $$\therefore \underset{n\to \infty }{\lim }P\{|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k-\mu |\ge ϵ\}=0.$$

即 $\{{\xi }_k\}$ 服从大数定律。

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设 $\{X_k\}$ 为相互独立的随机变量序列，在下面两种情况下证明： $\{X_k\}$ 服从大数定律。

1. $P\{X_k=\pm \sqrt{k}\}=\frac{1}{k},P\{X_k=0\}=1-\frac{2}{k},k=2,3,...$
2. $P\{X_k=\pm \sqrt{\ln k}\}=\frac{1}{2},k=1,2,...$

解

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$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}({\mathbf{X}}_{\mathbf{k}})& =0,\mathbf{D}({\mathbf{X}}_{\mathbf{k}})=2.\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& P\{|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k-\mathbf{E}\left[\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\right]|\ge ϵ\}<\frac{\mathbf{D}\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\right)}{{ϵ}^2}\\ & =\frac{\sum _{k=1}^n\mathbf{D}(X_k)}{n^2{ϵ}^2}=\frac{2n}{n^2{ϵ}^2}\to 0,(n\to \infty ).\end{array}$$

故 $\{X_k\}$ 服从大数定律。

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$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}})& =0,\mathbf{D}({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}})=\ln k.\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& P\{|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k-\mathbf{E}\left[\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\right]|\ge ϵ\}<\frac{\mathbf{D}\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k\right)}{{ϵ}^2}\\ & =\frac{\sum _{k=1}^n\mathbf{D}(X_k)}{n^2{ϵ}^2}=\frac{\sum _{k=1}^n\ln k}{n^2{ϵ}^2}=\frac{\ln k!}{n^2{ϵ}^2}<\frac{k\ln k}{n^2{ϵ}^2}\to 0,(n\to \infty ).\end{array}$$

故 $\{X_k\}$ 服从大数定律。

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阐述应如何准确理解第一章讲述的“随试验次数无穷增大事件发生的频率会逐渐稳定于其概率”的结论？

解

大数定律表明，当试验次数足够大时，事件发生的频率将逐渐趋向于其概率。

其次，中心极限定理表明，当试验次数足够大时，独立重复试验的均值将近似于正态分布。

所以随着试验次数的增加，事件发生的频率会越来越接近于其概率，且频率的分布会逐渐趋向于正态分布，而正态分布的中心就是概率的值。

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设噪声电压 $X_1,X_2,...,X_{100}$ 相互独立且都服从区间 $(0,6)$ 上的均匀分布，用中心极限定理估计总噪声电压 $Y=\sum _{k=1}^{100}{X}_k$ 在 $260$ 到 $340$ 之间的概率。

解

$$\mathbf{E}(X_k)=3,\mathbf{D}(X_k)=3$$ $$\begin{array}{rl}P\{260\le Y\le 340\}& =P\{-40\le Y-300\le 40\}\\ & =P\{-\frac{40}{\sqrt{300}}\le \frac{Y-300}{\sqrt{300}}\le \frac{40}{\sqrt{300}}\}\\ & \approx \Phi (\frac{40}{\sqrt{300}})-\Phi (-\frac{40}{\sqrt{300}})\\ & =2\Phi (\frac{40}{\sqrt{300}})-1\\ & \approx 2\Phi (2.31)-1\\ & \approx 0.9796\end{array}$$

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某快餐店出售四种快餐套餐的价格分别为 $6$ 元、 $10$ 元、$15$ 元、 $18$ 元。并且这 $4$ 种快餐套餐售出的概率分别为 $0.2,0.45,0.25,0.1$ 。 若某天该快餐店出售套餐 $500$ 份，试用中心极限定理计算：

1. 该快餐点这天收入至少为 $5500$ 元的概率；
2. $15$ 元套餐至少售出 $140$ 份的概率。

解

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记 $X_k$ 代表第 $k$ 次出餐的套餐价格，$Y$ 为这天收入。

则 $\mathbf{E}(X_k)=11.25,\mathbf{D}(X_k)=14.2875$

因为 $X_k$ 独立同分布，由中心极限定理：

$$\begin{array}{rl}P\{Y\ge 5500\}& =1-P\{Y\le 5500\}\\ & =1-P\{\frac{Y-5625}{\sqrt{7143.75}}\le \frac{-125}{\sqrt{7143.75}}\}\\ & \approx 1-\Phi (\frac{-125}{\sqrt{7143.75}})\\ & =\Phi (\frac{125}{\sqrt{7143.75}})\\ & \approx \Phi (1.48)\\ & \approx 0.9306\end{array}$$

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记 $a_k$ 代表第 $k$ 次出餐的 $15$ 元套餐的出餐数量， $A$ 为这天 $15$ 元套餐的出餐数量。

则 $\mathbf{E}(a_k)=0.25,\mathbf{D}(a_k)=0.1875$

因为 $a_k$ 独立同分布，所以由中心极限定理：

$$\begin{array}{rl}P\{A\ge 140\}& =1-P\{A\le 140\}\\ & =1-P\{\frac{A-125}{\sqrt{93.75}}\le \frac{15}{\sqrt{93.75}}\}\\ & \approx 1-\Phi (\frac{15}{\sqrt{93.75}})\\ & \approx 1-\Phi (1.55)\\ & \approx 0.0606\end{array}$$

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设相互独立的随机变量序列 $\{{\xi }_k\}$ ，对每一个 $k$ ， ${\xi }_k\sim U(-k,k)$ ，证明：$\{{\xi }_k\}$ 服从中心极限定理。

解

由题设： $\mathbf{E}({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}})=0,\mathbf{D}({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}})=\frac{1}{3}{k}^2$ 由林德伯格一一列维定理知，当 $\{{\xi }_k\}$ 满足独立同分布，期望方差存在条件时，可保证其服从中心极限定理. $\mathbf{E}(\mathbf{Y})=0,\mathbf{D}(\mathbf{Y})=\sum _{k=1}^n\frac{1}{3}{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{18}$

由于 $\{{\xi }_k\}$ 相互独立，因此可以使用独立同分布的中心极限定理，即

$$\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}=\frac{S_n}{\sigma \sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

其中 $\mu =0$ ， ${\sigma }^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{18}$ 。

因此，当 $n$ 趋近于无穷大时， $\frac{S_n}{\sigma \sqrt{n}}$ 的分布趋近于标准正态分布，即 $\{{\xi }_k\}$ 服从中心极限定理。

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请用相关理论解释为什么正态分布会在实际中广泛存在？

解

1. 中心极限定理

中心极限定理是解释正态分布广泛存在的一个重要理论基础。中心极限定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。而在实际中，很多现象都是由大量随机变量叠加而成的，当这些随机误差的分布近似于正态分布时，最终观测结果也往往符合正态分布。

2. 大数定律

大数定律表明，当试验次数足够大时，独立重复试验的均值将趋近于其期望值。在实际中，许多现象可以看作是由许多相互独立的因素共同作用的结果。根据大数定律，当样本数量足够大时，这些因素的影响将趋于均衡，导致这些现象的测量结果呈现出正态分布的形式。

3. 统计模型假设

在许多统计模型中，都会假设随机误差服从正态分布，例如线性回归模型、方差分析模型等。这些模型在实际中应用广泛，因此也增加了正态分布在实际中广泛存在的可能性。