概率论作业-第四章+第五章

第四章

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14. 已知 $(\xi ,\eta )$ 的联合密度函数为 $f(x,y)=\{\begin{array}{cc}3x,0<y<x,0<x<1\text{, }& \\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$ , 求 $E(\xi \mid \eta )$ 和 $D\left(\xi \mid \eta =\frac{1}{2}\right)$ 。

Drawing-2023-05-12-21.50.07.excalidraw

$$\begin{array}{rl}{f}_{\eta }(y)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx\\ & ={\int }_y^{1}3xdx\\ & =\frac{3}{2}(1-y^2)\end{array}$$ $$f_{\xi |\eta }(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{\eta }(y)}=\{\begin{array}{cc}\frac{2x}{1-y^2},& y<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E(\xi |\eta )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\frac{2x}{1-y^2}dx\\ & ={\int }_y^{1}x\frac{2x}{1-y^2}dx\\ & =\frac{2}{3}\frac{1+\eta +{\eta }^2}{1+\eta }\end{array}$$ $$f_{\xi |\eta }\left(x|y=\frac{1}{2}\right)=\frac{8}{3}x$$ $$\begin{array}{rl}E(\xi |\eta =\frac{1}{2})& ={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{8}{3}{x}^{2}dx=\frac{7}{9}\\ E({\xi }^2|\eta =\frac{1}{2})& ={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{8}{3}{x}^{3}dx=\frac{5}{8}\\ D(\xi |\eta =\frac{1}{2})& ={\int }_{1/2}^1(x-7/9{)}^2{f}_{\xi |\eta }\left(x|y=\frac{1}{2}\right)dx=\frac{53}{648}\end{array}$$

此时使用方差的性质公式无法得到正确结果？：

$$D(\xi |\eta =\frac{1}{2})=E({\xi }^2|\eta =\frac{1}{2})-E(\xi |\eta =\frac{1}{2}{)}^2=\frac{13}{648}$$

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15. 小猫走进一个山洞，其中有三个门洞。第一个走2小时回到地面，第二个走3小时重回山洞，第三个走5小时重回山洞。若小猫随机选择一个门洞，求它回到地面的平均时间。

$$\begin{array}{l}E(\xi )=E[E(\xi |\eta )]={\sum }_{n=1}^{3}E(\xi |\eta =n)P(\eta =n)\\ =E(\xi |\eta =1)P(\eta =1)+E(\xi |\eta =2)+E(\xi |\eta =3)P(\eta =3)\\ =2\times \frac{1}{3}+(3+E(\xi ))\times \frac{1}{3}+(5+E(\xi ))\times \frac{1}{3}\\ \Rightarrow E(\xi )=10\end{array}$$

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16. 设 $X,Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 令 $Z_1=\alpha X+\beta \mathbf{Y},Z_2=\alpha \mathbf{X}-\beta \mathbf{Y}$, (1) 求 ${\rho }_{Z_1{Z}_2}$ ； (2) 确定 $\left(Z_1,Z_2\right)$ 的联合分布； (3) 讨论 ${\mathbf{Z}}_1$ 与 ${\mathbf{Z}}_2$ 的独立性.

${\rho }_{{}_{z_1{z}_2}}=\frac{Cov(z_1,z_2)}{\sqrt{D(z_1)}\sqrt{D(z_2)}}=\frac{E(z_1{z}_2)-E(z_1)E(z_2)}{\sqrt{D(z_1)}\sqrt{D(z_2)}}$ $E(Z_1)=(\alpha +\beta )\mu ,E(Z_2)=(\alpha -\beta )\mu$ $Var(Z_1)={\alpha }^{2}Var(X)+{\beta }^{2}Var(Y)=({\alpha }^2+{\beta }^2){\sigma }^2$ $Var(Z_2)={\alpha }^{2}Var(X)+{\beta }^{2}Var(Y)=({\alpha }^2+{\beta }^2){\sigma }^2$

$$\begin{array}{rl}\text{Cov}\left(Z_1,Z_2\right)& =\text{Cov}\left(\alpha X+\beta Y,\alpha X-\beta Y\right)\\ & ={\alpha }^2\text{Cov}\left(X,X\right)-\alpha \beta \text{Cov}\left(X,Y\right)+\alpha \beta \text{Cov}\left(Y,X\right)-{\beta }^2\text{Cov}\left(Y,Y\right)\\ & ={\alpha }^2{\sigma }^2-\alpha \beta \cdot 0+\alpha \beta \cdot 0-{\beta }^2{\sigma }^2\\ & =({\alpha }^2-{\beta }^2){\sigma }^2\end{array}$$

$\frac{E(z_1{z}_2)-E(z_1)E(z_2)}{\sqrt{D(z_1)}\sqrt{D(z_2)}}=\frac{{\alpha }^2-{\beta }^2}{{\alpha }^2+{\beta }^2}$

由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，因此他们的联合分布为：

$$f_{X,Y}(X,Y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{(X-\mu {)}^2+(Y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

根据变量替换公式，可以得到 $(Z_1,Z_2)$ 的联合分布为

$$\begin{array}{rl}& f_{Z_1,Z_2}(z_1,z_2)=f_{X,Y}\left(\frac{z_1+z_2}{2\alpha },\frac{z_1-z_2}{2\beta }\right)\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (z_1,z_2)}\right|\\ & =\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{(z_1+z_2-2\alpha \mu {)}^2+(z_1-z_2-2\beta \mu {)}^2}{8{\alpha }^2{\sigma }^2+8{\beta }^2{\sigma }^2}\right)\cdot \frac{1}{2\alpha \beta }\end{array}$$

由于 $(Z_1,Z_2)$ 的联合分布是正态分布，因此他们的边缘分布也是正态分布。 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $Z_1\sim N\left((\alpha +\beta )\mu ,\left({\alpha }^2+{\beta }^2\right){\sigma }^2\right),Z_2\sim N\left((\alpha -\beta )\mu ,\left({\alpha }^2+{\beta }^2\right){\sigma }^2\right)$ 因此，它们的乘积的概率密度为：

$$f_{Z_1}(Z_1)f_{Z_2}(Z_2)=\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi \left({\alpha }^2+{\beta }^2\right){\sigma }^2}\exp \left(-\frac{(z1-(\alpha +\beta )\mu {)}^2}{2\left({\alpha }^2+{\beta }^2\right){\sigma }^2}\right)\\ & \frac{1}{2\pi \left({\alpha }^2+{\beta }^2\right){\sigma }^2}\exp \left(-\frac{(z2-(\alpha -\beta )\mu {)}^2}{2\left({\alpha }^2+{\beta }^2\right){\sigma }^2}\right)\end{array}$$

当 $\alpha \ne \beta$ 时，两者不独立，反之，两者相互独立。

第五章

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1. 设随机变量 $\xi$ 服从几何分布 $P\{\xi =k\}=p{q}^{k-1}(k=1,2,\dots ),0<p<1,q=1-p$, 求 $\xi$ 的特征函数, $E(\xi )$ 和 $D(\xi )$ 。

$$\begin{array}{rl}\phi (t)& =p\sum _{k=1}^{\infty }{q}^{k-1}\cdot e^{jtk}\\ & =\frac{p}{q}\left(\frac{1}{1-q{e}^{jt}}-1\right)\\ & =\frac{p}{q}\frac{q{e}^{jt}}{1-q{e}^{jt}}\\ E(\xi )& =i^{-1}{\phi }^{\prime }(0)\\ & =\frac{p{e}^{jt}}{(1-q{e}^{jt}{)}^2}{|}_{t=0}\\ & =\frac{1}{p}\\ E({\xi }^2)& =i^{-2}{\phi }^{\prime \prime }(0)\\ & =p\frac{e^{jt}}{(1-q{e}^{jt}{)}^2}\left[1+2\frac{q{e}^{jt}}{1-q{e}^{jt}}\right]|\ast t=0\\ & \\ & =\frac{2-p}{p^2}\\ D(\xi )=\frac{1-p}{p^2}& \end{array}$$

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2. 设随机变量 $\xi (\xi >0)$ 的分布函数为 $F_{\xi }(x)=\{\begin{array}{ll}{\int }_0^x{f}_{\xi }(t)dt,& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$ , 求 $\eta =e^{-\xi }$ 的概率密度。

概率密度函数变换法： 首先，根据定义， $\eta =e^{-\xi }$ ，则有 $\xi =-\ln \eta$ ，因此有 $\frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}\eta }=-\frac{1}{\eta }$ ，根据概率密度函数的定义，有 $f_{\eta }(y)=f_{\xi }(x)\left|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right|$ ，因此有：

$$f_{\eta }(y)=f_{\xi }(-\ln y)\left|\frac{\mathrm{d}(-\ln y)}{\mathrm{d}y}\right|=\frac{f_{\xi }(-\ln y)}{y}$$

考虑定义域，有： $F_{\eta }(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{f_{\xi }(-\ln y)}{y}& 0<y<1\\ 0,& other\end{array}$

特征函数法：

$$\begin{array}{r}{\phi }_{\eta }(t)=E(e^{jt\eta })=E(e^{jt{e}^{-\xi }})={\int }_0^{\infty }{e}^{jt{e}^{-x}}{f}_{\xi }(x)dx\stackrel{e^{-x}=u}{====}\\ {\int }_1^0{e}^{jtu}{f}_{\eta }(-\ln u)\frac{1}{-u}du={\int }_0^1{e}^{jtu}{f}_{\eta }(-\ln u)\frac{1}{u}du\\ \Rightarrow f_{\eta }(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_{\epsilon }(-\ln y)\frac{1}{y},& 0<y<1\\ 0,& other\end{array}\end{array}$$

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3. 用特征函数法证明泊松分布的可加性。

设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个独立的泊松分布随机变量，其参数分别为 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 。我们需要证明 $X_1+X_2$ 也是泊松分布，其参数为 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 。

$X_1+X_2$ 的特征函数为：

$\begin{array}{rl}{\varphi }_{X_1+X_2}(t)& =E[e^{jt(X_1+X_2)}]\\ & =E[e^{jt{X}_1}{e}^{jt{X}_2}]\\ & =E[e^{jt{X}_1}]E[e^{jt{X}_2}]\\ & ={\varphi }_{X_1}(t){\varphi }_{X_2}(t)\end{array}$ 根据泊松分布的定义，其概率质量函数为：

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$

其特征函数为：

$\begin{array}{rl}{\varphi }_X(t)& =E[e^{jtX}]\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{jtk}\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}\\ & =e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\lambda e^{jt}{)}^k}{k!}\\ & =e^{-\lambda }{e}^{\lambda e^{jt}}\\ & =e^{\lambda (e^{jt}-1)}\end{array}$

因此，我们有：

$\begin{array}{rl}{\varphi }_{X_1+X_2}(t)& ={\varphi }_{X_1}(t){\varphi }_{X_2}(t)\\ & =e^{{\lambda }_1(e^{jt}-1)}{e}^{{\lambda }_2(e^{jt}-1)}\\ & =e^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)(e^{jt}-1)}\end{array}$

这说明 $X_1+X_2$ 的特征函数等于泊松分布的特征函数，因此 $X_1+X_2$ 也是泊松分布。其参数为 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ .

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4. 设 $\xi \sim P(\lambda )$ , (1) 求 $\xi$ 的标准化随机变量 ${\xi }^{\ast }$ 的特征函数 ${\phi }_{{\xi }^{\ast }}(t)$ ;求 $\lambda \to \infty$ 时， ${\phi }_{{\xi }^{\ast }}(t)$ 的极限。

(1) 首先求出 $\xi$ 的特征函数：

$$\phi (t)=e^{\lambda (e^{jt}-1)},t\in \mathbb{R}$$

然后求出 $\xi$ 的均值和方差：

$$E(\xi )=\lambda ,Var(\xi )=\lambda$$

${\xi }^{\ast }=\frac{\xi -\lambda }{\sqrt{\lambda }}$ 。因此，其特征函数为：

$\begin{array}{rl}{\phi }_{{\xi }^{\ast }}(t)& =E\left(e^{jt\frac{\xi -\lambda }{\sqrt{\lambda }}}\right)\\ & =e^{-jt\frac{\lambda }{\sqrt{\lambda }}}E\left(e^{jt\frac{\xi }{\sqrt{\lambda }}}\right)\\ & =e^{-jt\sqrt{\lambda }}\phi \left(\frac{t}{\sqrt{\lambda }}\right)\\ & =e^{-jt\sqrt{\lambda }}{e}^{\lambda \left(e^{jt/\sqrt{\lambda }}-1\right)}\end{array}$

$$\begin{array}{rl}\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\ln {\phi }_{{\xi }^{\ast }}(t)& =\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\lambda \left(e^{jt/\sqrt{\lambda }}-1\right)-jt\sqrt{\lambda }\\ & =\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\lambda \left(1+\frac{jt}{\sqrt{\lambda }}+\frac{i^2{t}^2}{2\lambda }+O\left(\frac{i^2{t}^2}{2\lambda }\right)-1\right)-jt\sqrt{\lambda }\\ & =-\frac{t^2}{2}\end{array}$$

因此，当 $\lambda \to \infty$ 时, ${\phi }_{{\xi }^{\ast }}(t)$ 的极限为 $e^{\frac{-t^2}{2}}$

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5. 若 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 相互独立, 均服从 $N(0,1)$ , 而 ${\eta }_1={\sum }_{k=1}^n{a}_k{\xi }_k,{\eta }_2={\sum }_{k=1}^n{b}_k{\xi }_k,$ 试证 ${\eta }_1$ 与 ${\eta }_2$ 独立的充要条件为 ${\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k=0$.

$$\begin{array}{rl}{E}_{{\eta }_1{\eta }_2}& =E\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{\xi }_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k{\xi }_k\right)\\ & =E\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{\xi }_k^2\right)+E\left(\sum _{j\ne k}{a}_j{b}_k{\xi }_j{\xi }_k\right)\\ & =\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\end{array}$$

两个正态随机变量相互独立的充要条件是协方差为 0，而已知两者的数学期望为 0，那么只需要 $E_{{\eta }_1{\eta }_2}=0$ . ${\eta }_1$ 与 ${\eta }_2$ 独立的充要条件为 ${\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k=0$ .

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6. 若 $(\xi ,\eta )$ 服从 $N\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho \right)$, 而

$$U=a\xi +b\eta ,V=c\xi +d\eta$$

(1) 试求 $U$ 与 $V$ 的数学期望, 方差及相关系数; (2) 写出 $(U,V)$ 的分布; (3）讨论: 何种情况下, $(U,V)$ 退化为一维分布; 何种情况下, $U$ 与 $V$ 独立.

(1) $E(U)=a{\mu }_1+b{\mu }_2,D(U)=a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2+2ab{\sigma }_1{\sigma }_2\rho$ $E(V)=c{\mu }_1+d{\mu }_2,D(V)=c^2{\sigma }_1^2+d^2{\sigma }_2^2+2cd{\sigma }_1{\sigma }_2\rho$

$$\begin{array}{c}\mathrm{cov}(U,V)=ac{\sigma }_1^2+bd{\sigma }_2^2+(ad+bc){\sigma }_1{\sigma }_2\rho \\ {\rho }_{UV}=\frac{ac{\sigma }_1^2+bd{\sigma }_2^2+(ad+bc){\sigma }_1{\sigma }_2\rho }{\sqrt{a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2+2ab{\sigma }_1{\sigma }_2\rho }\sqrt{c^2{\sigma }_1^2+d^2{\sigma }_2^2+2cd{\sigma }_1{\sigma }_2\rho }}\end{array}$$

(2) 因 $\left(\begin{array}{l}U\\ V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\xi \\ \eta \end{array}\right)$ , 故知 $(U,V)$ 服从二元正态分布 $N\left(E(U),E(V),D(U),D(V),{\rho }_{UV}\right)$ , 其中的参数由 (1) 给出. (3) 若记 $\mathbf{R}=\left(\begin{array}{cc}D(U)& \mathrm{cov}(U,V)\\ \mathrm{cov}(U,V)& D(V)\end{array}\right)$ 则

$$|\mathbf{R}|=(ad-bc{)}^2{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2-(ad-bc{)}^2{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2{\rho }^2=(ad-bc{)}^2\left(1-{\rho }^2\right){\sigma }_1^2{\sigma }_2^2$$

因此当 $a,b,c,d$ 不全为零, $ad=bc$ 或 $\rho =\pm 1$ 时, $(U,V)$ 退化为一维变量. 而当 $ac{\sigma }_1^2+(ad+bc){\sigma }_1{\sigma }_2\rho +bd{\sigma }_2^2=0$ 时, ${\rho }_{UV}=0,U,V$ 独立.